Para cada um dos itens a seguir, faça o que se pede. Resolva os PVIs
y(1)=0, \quad 3 \cos (2 x+y)+e^{y / 4} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y(1)=0,\qquad 3\cos(2x+y)+e^{y/4}\,dy=0.
Para interpretarmos uma equação diferencial da forma “ M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0” é essencial que o primeiro termo venha multiplicando dx. Aqui, entretanto, aparece apenas
3\cos(2x+y)
sem o “ \,dx”.

Passo 2

Sem o diferencial “ \,dx” junto de 3\cos(2x+y), a equação não está bem determinada como uma equação diferencial de primeira ordem no formato padrão
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 3

Como não temos esse “ \,dx”, não podemos identificar M(x,y) nem montar um PVI do tipo
\underbrace{M(x,y)}_{\substack{\text{coeficiente de }dx}}\,dx \;+\;\underbrace{N(x,y)}_{\substack{\text{coeficiente de }dy}}\,dy=0,
logo não há base para prosseguir: não dá para verificar exatidão, nem testar fatores integrantes, nem separar variáveis.

Resposta

Não é possível resolver o PVI porque o termo 3\cos(2x+y) está sem o diferencial “ \,dx”, de modo que a equação diferencial não está corretamente formulada.

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