Exercício 4 (2,5 pontos). Para o sistema \mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}4 & 3 \\\\ -4 & -4\end{array}\right) \mathbf{X}, determine e^{A t}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar e^{At} para
A = \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ -4 & -4\end{pmatrix}.
O conteúdo necessário é a definição de exponencial de matriz via série de Taylor e a observação de que A^2 é múltiplo da matriz identidade, o que simplifica muito o cálculo.

Passo 2

Vamos calcular A^2 por multiplicação de matrizes:
A^2 = \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ -4 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ -4 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\cdot4 + 3\cdot(-4) & 4\cdot3 + 3\cdot(-4) \\[6pt] -4\cdot4 + (-4)\cdot(-4) & -4\cdot3 + (-4)\cdot(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[3pt] 0 & 4\end{pmatrix} = 4I.]

Passo 3

Pela série de Taylor,
e^{At} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(At)^n}{n!} = I\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(At)^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(At)^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Como A^2=4I, temos
\sum_{k=0}^\infty\frac{(At)^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^\infty\frac{4^k\,t^{2k}}{(2k)!} = \operatorname{cosh}(2t),
\sum_{k=0}^\infty\frac{(At)^{2k+1}}{(2k+1)!} = A\sum_{k=0}^\infty\frac{4^k\,t^{2k+1}}{(2k+1)!} = A\;\frac{\operatorname{sinh}(2t)}{2}.

Passo 4

Substituindo na definição de e^{At}, obtemos
e^{At} = I\,\operatorname{cosh}(2t) + \frac{A}{2}\,\operatorname{sinh}(2t).
Em forma de matriz:
e^{At} = \begin{pmatrix} \operatorname{cosh}(2t) + 2\,\operatorname{sinh}(2t) & \tfrac{3}{2}\,\operatorname{sinh}(2t) \\[4pt] -2\,\operatorname{sinh}(2t) & \operatorname{cosh}(2t) - 2\,\operatorname{sinh}(2t) \end{pmatrix}.]

Resposta

e^{At} = I\,\operatorname{cosh}(2t) + \frac{A}{2}\,\operatorname{sinh}(2t) = \begin{pmatrix} \operatorname{cosh}(2t) + 2\,\operatorname{sinh}(2t) & \tfrac{3}{2}\,\operatorname{sinh}(2t) \\[4pt] -2\,\operatorname{sinh}(2t) & \operatorname{cosh}(2t) - 2\,\operatorname{sinh}(2t) \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados