Determinar se as equações dos Problemas 1 até 12 são ou não são exatas. Para as equações exatas, achar a solução,
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y})

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} \;=\; -\frac{a x + b y}{b x + c y}
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. Para isso vamos reescrever na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e checar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por (b x + c y)\,dx obtemos
(bx + cy)\,dy = -\,(ax + by)\,dx \quad\Longrightarrow\quad (ax + by)\,dx + (bx + cy)\,dy = 0.
Logo, identificamos
M(x,y) = ax + by, \quad N(x,y) = bx + cy.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = b, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = b.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\Psi_x = M = ax + by, \quad \Psi_y = N = bx + cy.
Integrando \Psi_x em relação a x:
\Psi(x,y) = \int (ax + by)\,dx = \frac{a x^2}{2} + bxy + h(y).
Para determinar h(y), derivamos em y:
\Psi_y = bx + h'(y) \;\stackrel{!!}{=}\; bx + cy \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=cy \;\Longrightarrow\; h(y)=\frac{c y^2}{2}.

Passo 5

Portanto a função potencial completa é
\Psi(x,y) = \frac{a x^2}{2} + bxy + \frac{c y^2}{2}.
A solução geral implícita da equação exata é
\Psi(x,y) = C,
ou seja
\frac{a x^2}{2} + bxy + \frac{c y^2}{2} = C.

Resposta

A equação é exata e sua solução implícita é
\frac{a x^2}{2} + bxy + \frac{c y^2}{2} = C.

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