Determinar se as equações dos Problemas 1 até 12 são ou não são exatas. Para as equações exatas, achar a solução,
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y})
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y})
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. Para isso vamos reescrever na forma
e checar se
.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Logo, identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
:
Para determinar
, derivamos em
:
Passo 5
Portanto a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação exata é
ou seja
Resposta
A equação é exata e sua solução implícita é