Exercício 4 [25 pontos]: Calcule
onde
é a curva definida por
orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a elipse
orientada positivamente.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, mas como e
têm singularidade em
, vamos usar Green num domínio que exclui um pequeno disco em torno da origem e depois passar ao limite.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, mas como
Passo 2
Calculamos o rotacional
Diretamente obtém-se
então
para todo
.
Passo 3
Pelo Teorema de Green num domínio
que é o interior da elipse menos um disco de raio
em torno da origem, temos
Assim
onde
é o círculo
, orientado positivamente.
Passo 4
Parametrizamos
por
Então
e
Logo
Passo 5
Integramos sobre
: