Exercício 4 [25 pontos]: Calcule

\int_{C} \frac{y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x-\frac{x y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d y
onde C é a curva definida por x^{2}+3 y^{2}=1 orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy
onde
P(x,y)=\frac{y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\quad Q(x,y)=-\frac{x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
e C é a elipse x^{2}+3y^{2}=1 orientada positivamente.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, mas como P e Q têm singularidade em (0,0), vamos usar Green num domínio que exclui um pequeno disco em torno da origem e depois passar ao limite.

Passo 2

Calculamos o rotacional
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Diretamente obtém-se
\frac{\partial Q}{\partial x} =-\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{3y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} -\frac{4y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{3}},
então
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-\frac{4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +\frac{4y^{2}(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}} =0
para todo (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Pelo Teorema de Green num domínio D que é o interior da elipse menos um disco de raio \varepsilon em torno da origem, temos
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy -\oint_{C_{\varepsilon}}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D\setminus\{(0,0)\}} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =0.
Assim
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\oint_{C_{\varepsilon}}P\,dx+Q\,dy,
onde C_{\varepsilon} é o círculo x^{2}+y^{2}=\varepsilon^{2}, orientado positivamente.

Passo 4

Parametrizamos C_{\varepsilon} por
x=\varepsilon\cos t,\quad y=\varepsilon\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Então r^{2}=x^{2}+y^{2}=\varepsilon^{2} e
P=\frac{\varepsilon^{3}\sin^{3}t}{\varepsilon^{4}}=\frac{\sin^{3}t}{\varepsilon},\quad Q=-\frac{\varepsilon^{3}\cos t\,\sin^{2}t}{\varepsilon^{4}} =-\frac{\cos t\,\sin^{2}t}{\varepsilon},
dx=-\varepsilon\sin t\,dt,\quad dy=\varepsilon\cos t\,dt.
Logo
P\,dx+Q\,dy =\frac{\sin^{3}t}{\varepsilon}(-\varepsilon\sin t\,dt) +\Bigl(-\frac{\cos t\,\sin^{2}t}{\varepsilon}\Bigr)(\varepsilon\cos t\,dt) =-\sin^{4}t\,dt-\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt =-\sin^{2}t\,dt.

Passo 5

Integramos sobre t\in[0,2\pi]:
\oint_{C_{\varepsilon}}P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-\sin^{2}t\bigr)\,dt =-\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt =-\pi.

Resposta

-\pi

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