Determinar se as equações dos Problemas 1 até 12 são ou não são exatas. Para as equações exatas, achar a solução,
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y})
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y})
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Se for exata, devemos encontrar a solução geral.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
logo
Passo 3
Para ser exata, é preciso que
Calculamos:
Passo 4
Vemos que
em geral, portanto a equação não é exata a menos que
.
Passo 5
Se
, então
e a equação exata fica
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Derivando essa expressão em
e igualando a
dá
Assim,
A solução geral implícita é
Resposta
A equação só é exata se
. Nesse caso, a solução implícita geral é
Caso
, a equação não é exata.