Determinar se as equações dos Problemas 1 até 12 são ou não são exatas. Para as equações exatas, achar a solução,
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y})

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = -\frac{a x - b y}{b x - c y}
e pede para verificar se ela é exata. Se for exata, devemos encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Multiplicando ambos os lados por (b x - c y)\,dx, obtemos
(a x - b y)\,dx + (b x - c y)\,dy = 0,
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M(x,y) = a x - b y, \quad N(x,y) = b x - c y.

Passo 3

Para ser exata, é preciso que
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos:
\frac{\partial M}{\partial y} = -b, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = b.

Passo 4

Vemos que -b \neq b em geral, portanto a equação não é exata a menos que b=0.

Passo 5

Se b=0, então
M(x,y)=a x, \quad N(x,y)=-c y,
e a equação exata fica
a x\,dx - c y\,dy = 0.
Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=a x, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=-c y.
Integrando em x:
\Phi(x,y)=\int a x\,dx = \tfrac{a}{2}x^2 + g(y).
Derivando essa expressão em y e igualando a -c y
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=g'(y) = -c y \quad\Longrightarrow\quad g(y) = -\tfrac{c}{2}y^2 + C_1.
Assim,
\Phi(x,y) = \tfrac{a}{2}x^2 - \tfrac{c}{2}y^2 + C_1.
A solução geral implícita é
\Phi(x,y)=C \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{a}{2}x^2 - \tfrac{c}{2}y^2 = C.

Resposta

A equação só é exata se b=0. Nesse caso, a solução implícita geral é
\frac{a}{2}\,x^2 \;-\;\frac{c}{2}\,y^2 = C.
Caso b\neq0, a equação não é exata.

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