Para cada um dos itens a seguir, resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo principal aqui é resolver essa equação diferencial. Para isso, vamos precisar saber sobre equações diferenciais exatas e como encontrar um fator integrante quando a equação não é exata inicialmente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se essa equação diferencial é exata. Uma equação na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Para encontrar o fator integrante, assumimos que ele depende apenas de
ou de
. Vamos supor que o fator integrante
é uma função de
.
A fórmula para o fator integrante quando depende de
é:
Vamos calcular:
Então,
Passo 4
Agora que temos o fator integrante
, multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Isso torna a equação exata. Agora, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 5
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Vamos resolver a integral termo a termo:
Usando integração por partes, isso resulta em termos envolvendo
,
, e
.
Novamente, usamos integração por partes.
Após integrar todos os termos, adicionamos uma função
que depende apenas de
.
Passo 6
Depois de integrar, igualamos a derivada de
em relação a
com
:
Comparando com a expressão obtida na integração, determinamos a função
.
Passo 7
Finalmente, juntamos todos os termos para obter a função potencial
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.