Para cada um dos itens a seguir, resolva a equação diferencial:
(3 x^2 y+2 x y+y^3) d x+(x^2+y^2) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
(3x^2y + 2xy + y^3) dx + (x^2 + y^2) dy = 0
O conteúdo principal aqui é resolver essa equação diferencial. Para isso, vamos precisar saber sobre equações diferenciais exatas e como encontrar um fator integrante quando a equação não é exata inicialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se essa equação diferencial é exata. Uma equação na forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x .
Vamos identificar M e N :
M = 3x^2y + 2xy + y^3
N = x^2 + y^2
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 3x^2 + 2x + 3y^2
partial Npartial x = 2x
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante, assumimos que ele depende apenas de x ou de y . Vamos supor que o fator integrante mu é uma função de x .
A fórmula para o fator integrante quando depende de x é:
mu(x) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN dx
Vamos calcular:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = (3x^2 + 2x + 3y^2) - 2xx^2 + y^2 = 3x^2 + 3y^2x^2 + y^2 = 3
Então,
mu(x) = e^integral 3 dx = e^3x

Passo 4

Agora que temos o fator integrante mu(x) = e^3x , multiplicamos toda a equação diferencial por mu(x) :
e^3x(3x^2y + 2xy + y^3) dx + e^3x(x^2 + y^2) dy = 0
Isso torna a equação exata. Agora, podemos encontrar uma função potencial psi(x, y) tal que:
dpsi = mu M dx + mu N dy

Passo 5

Para encontrar psi(x, y) , integramos mu M em relação a x :
psi(x, y) = integral e^3x(3x^2y + 2xy + y^3) dx + h(y)
Vamos resolver a integral termo a termo:
  1. integral e^3x cdot 3x^2y dx
Usando integração por partes, isso resulta em termos envolvendo e^3x , x , e y .
  1. integral e^3x cdot 2xy dx
Novamente, usamos integração por partes.
  1. integral e^3x cdot y^3 dx = y^3 cdot e^3x3
Após integrar todos os termos, adicionamos uma função h(y) que depende apenas de y .

Passo 6

Depois de integrar, igualamos a derivada de psi em relação a y com mu N :
partial psipartial y = e^3x(x^2 + y^2)
Comparando com a expressão obtida na integração, determinamos a função h(y) .

Passo 7

Finalmente, juntamos todos os termos para obter a função potencial psi(x, y) :
psi(x, y) = e^3x(x^2y + y^3) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^3x(x^2y + y^3) = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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