Dê exemplos de sequências de números reais
e
tais que
e
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar exemplos de duas sequências de números reais,
e
, que satisfazem três condições:
-
tende a 0 quando vai para o infinito. -
também tende a 0 quando vai para o infinito. - O limite de
é igual a 26.
Para resolver isso, precisamos trabalhar com conceitos de limites de sequências e manipular as expressões para encontrar
e
que cumprem essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a terceira condição:
. Isso significa que, para
grande, essa expressão se aproxima de 26. Podemos reorganizar essa equação para relacionar
e
.
Passo 3
Vamos isolar
na expressão:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, dividindo ambos os lados por 7:
Passo 4
Para simplificar, vamos escolher uma sequência para
que tende a 0. Uma escolha simples é
, pois quando
tende a infinito,
tende a 0.
Passo 5
Com
, podemos substituir na equação que relaciona
:
Agora, para encontrar
, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Podemos simplificar
para deixar a expressão mais limpa:
Mas para manter precisão, podemos deixar como fração:
Passo 6
Agora, temos nossas duas sequências:
Vamos verificar se elas satisfazem as condições:
-
quando . -
quando . -
.
Todas as condições são satisfeitas!
Resposta
Um exemplo de sequências que atendem às condições é: