Dê exemplos de sequências de números reais an e bn tais que
an 0, bn 0 e 7 cdot raizbn(an)^2 26

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar exemplos de duas sequências de números reais, an e bn, que satisfazem três condições:
  1. an tende a 0 quando n vai para o infinito.
  2. bn também tende a 0 quando n vai para o infinito.
  3. O limite de 7 cdot raizbn(an)^2 é igual a 26.
Para resolver isso, precisamos trabalhar com conceitos de limites de sequências e manipular as expressões para encontrar an e bn que cumprem essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a terceira condição: 7 cdot raizbn(an)^2 26. Isso significa que, para n grande, essa expressão se aproxima de 26. Podemos reorganizar essa equação para relacionar an e bn.

Passo 3

Vamos isolar raizbn na expressão:
7 cdot raizbn(an)^2 = 26
Multiplicando ambos os lados por (an)^2:
7 cdot raizbn = 26 cdot (an)^2
Agora, dividindo ambos os lados por 7:
raizbn = 267 cdot (an)^2

Passo 4

Para simplificar, vamos escolher uma sequência para an que tende a 0. Uma escolha simples é an = 1n, pois quando n tende a infinito, an tende a 0.
an = 1n

Passo 5

Com an = 1n, podemos substituir na equação que relaciona raizbn:
raizbn = 267 cdot (1n)^2 = 267n^2
Agora, para encontrar bn, elevamos ambos os lados ao quadrado:
bn = (267n^2)^2 = 67649n^4 = 67649 cdot 1n^4
Podemos simplificar 67649 para deixar a expressão mais limpa:
67649 = 676 div 491 = 13.81 approx 13.8
Mas para manter precisão, podemos deixar como fração:
bn = 67649n^4

Passo 6

Agora, temos nossas duas sequências:
an = 1n
bn = 67649n^4
Vamos verificar se elas satisfazem as condições:
  1. an = 1n 0 quando n infty.
  2. bn = 67649n^4 0 quando n infty.
  3. 7 cdot raizbn(an)^2 = 7 cdot raiz67649n^4(1n)^2 = 7 cdot 267n^21n^2 = 26n^2 cdot n^2 = 26.
Todas as condições são satisfeitas!

Resposta

Um exemplo de sequências que atendem às condições é:
an = 1n
bn = 67649n^4

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