Dê exemplos de sequências de números reais
e
tais que
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar exemplos de duas sequências de números reais,
e
, que satisfaçam três condições:
tende a 0,
tende a menos infinito (
), e o produto
tende a 7. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como escolher
. Queremos que
vá para
quando
aumenta. Uma escolha simples é definir
, onde
é o termo da sequência. Assim, conforme
cresce,
fica cada vez mais negativo, indo para
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
que tende a 0 e que, quando multiplicada por
, dê 7. Sabemos que:
Substituindo
:
Assim,
. Conforme
aumenta,
tende a 0, satisfazendo a primeira condição.
Passo 4
Vamos verificar as condições:
-
quando . -
quando . -
.
Tudo está de acordo com o que foi pedido!
Resposta
Um exemplo válido é:
Essas sequências satisfazem
,
e
.