Dê exemplos de sequências de números reais an e bn tais que
an 0, bn -infty e an cdot bn 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar exemplos de duas sequências de números reais, an e bn, que satisfaçam três condições: an tende a 0, bn tende a menos infinito ( -infty), e o produto an cdot bn tende a 7. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como escolher bn. Queremos que bn vá para -infty quando n aumenta. Uma escolha simples é definir bn = -n, onde n é o termo da sequência. Assim, conforme n cresce, bn fica cada vez mais negativo, indo para -infty.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar an que tende a 0 e que, quando multiplicada por bn, dê 7. Sabemos que:
an cdot bn = 7
Substituindo bn = -n:
an cdot (-n) = 7 implies an = -7n
Assim, an = -7n. Conforme n aumenta, -7n tende a 0, satisfazendo a primeira condição.

Passo 4

Vamos verificar as condições:
  1. an = -7n 0 quando n infty.
  2. bn = -n -infty quando n infty.
  3. an cdot bn = -7n cdot (-n) = 7.
Tudo está de acordo com o que foi pedido!

Resposta

Um exemplo válido é:
an = -7n e bn = -n
Essas sequências satisfazem an 0, bn -infty e an cdot bn 7.

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