Dê exemplos de sequências de números reais an e bn tais que
an 0, bn 0 e anraiz[3]bn 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar dois conjuntos de números reais, chamados an e bn, que seguem certas condições quando n aumenta indefinidamente. Especificamente, queremos que:
  • an se aproxime de 0.
  • bn também se aproxime de 0.
  • A razão anraiz[3]bn se aproxime de 2.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e algumas manipulações algébricas básicas.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma sequência para bn. Como queremos que bn se aproxime de 0 quando n aumenta, uma escolha simples é definir bn de forma que seja uma potência de n que tende a 0. Por exemplo, podemos escolher:
bn = 1n^3
Aqui, conforme n cresce, bn fica cada vez menor, tendendo a 0.

Passo 3

Agora que temos bn, precisamos definir an de modo que:
anraiz[3]bn 2
Vamos resolver para an:
an = 2 cdot raiz[3]bn
Substituindo bn que escolhemos:
an = 2 cdot raiz[3]1n^3 = 2 cdot 1n = 2n
Então, nossa sequência para an é 2n.

Passo 4

Vamos verificar se essas escolhas satisfazem todas as condições da questão:
  1. an 0: Como an = 2n, conforme n cresce, 2n diminui e tende a 0.
  2. bn 0: Como bn = 1n^3, conforme n cresce, 1n^3 também diminui e tende a 0.
  3. anraiz[3]bn 2: Substituindo:
anraiz[3]bn = 2n1n = 2
Portanto, a razão é exatamente 2 para todo n, o que satisfaz a condição de limite.

Resposta

Um exemplo que satisfaz as condições é:
an = 2n e bn = 1n^3

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