Dê exemplos de sequências de números reais
e
tais que
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar dois conjuntos de números reais, chamados
e
, que seguem certas condições quando
aumenta indefinidamente. Especificamente, queremos que:
-
se aproxime de 0. -
também se aproxime de 0. - A razão
se aproxime de 2.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e algumas manipulações algébricas básicas.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma sequência para
. Como queremos que
se aproxime de 0 quando
aumenta, uma escolha simples é definir
de forma que seja uma potência de
que tende a 0. Por exemplo, podemos escolher:
Aqui, conforme
cresce,
fica cada vez menor, tendendo a 0.
Passo 3
Agora que temos
, precisamos definir
de modo que:
Vamos resolver para
:
Substituindo
que escolhemos:
Então, nossa sequência para
é
.
Passo 4
Vamos verificar se essas escolhas satisfazem todas as condições da questão:
-
: Como , conforme cresce, diminui e tende a 0. -
: Como , conforme cresce, também diminui e tende a 0. -
: Substituindo:
Portanto, a razão é exatamente 2 para todo
, o que satisfaz a condição de limite.
Resposta
Um exemplo que satisfaz as condições é: