Para cada um dos itens a seguir, resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
. Essa equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre Equações Exatas e Fatores Integrantes. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão
, onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa de
. Vamos supor que o fator seja
. Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 5
Para que a equação multiplicada seja exata, ela deve satisfazer:
Substituindo
e
:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial para
. Vamos resolvê-la:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então o fator integrante é
.
Passo 7
Multiplicando a equação original por
:
Agora, nossa nova equação é exata porque:
Como as derivadas são iguais, podemos seguir para encontrar a solução.
Passo 8
Para encontrar a função
tal que
, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 9
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Passo 10
Integrando
:
Usando integração por partes:
Passo 11
Finalmente, a função
fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é a constante de integração.