Para cada um dos itens a seguir, resolva a equação diferencial:
d x+(xy-sin (y)) d y=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial dx + (xy - sin(y)) dy = 0. Essa equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre Equações Exatas e Fatores Integrantes. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão M dx + N dy = 0, onde:
  • M = 1
  • N = xy - sin(y)

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
partial Mpartial y = 0 partial Npartial x = 1y
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 4

Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa de y. Vamos supor que o fator seja mu(y). Multiplicamos toda a equação por mu(y):
mu(y) cdot dx + mu(y) (xy - sin(y)) dy = 0

Passo 5

Para que a equação multiplicada seja exata, ela deve satisfazer:
ddy [mu(y) cdot M] = ddx [mu(y) cdot N]
Substituindo M e N:
mu'(y) = mu(y) cdot 1y

Passo 6

Essa é uma equação diferencial para mu(y). Vamos resolvê-la:
mu'(y)mu(y) = 1y
Integrando ambos os lados:
ln(mu(y)) = ln(y) + C mu(y) = C cdot y
Podemos escolher C = 1 para simplificar, então o fator integrante é mu(y) = y.

Passo 7

Multiplicando a equação original por y:
y cdot dx + (x - y sin(y)) dy = 0
Agora, nossa nova equação é exata porque:
partial (y)partial y = 1 partial (x - y sin(y))partial x = 1
Como as derivadas são iguais, podemos seguir para encontrar a solução.

Passo 8

Para encontrar a função F(x, y) tal que dF = y dx + (x - y sin(y)) dy, integramos M = y em relação a x:
F(x, y) = yx + h(y)
Onde h(y) é uma função de y.

Passo 9

Derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N = x - y sin(y):
partial Fpartial y = x + h'(y) = x - y sin(y)
Isso implica que:
h'(y) = -y sin(y)

Passo 10

Integrando h'(y):
h(y) = integral -y sin(y) , dy
Usando integração por partes:
h(y) = sin(y) + y cos(y) + C

Passo 11

Finalmente, a função F(x, y) fica:
F(x, y) = xy + sin(y) + y cos(y) = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é xy + sin(y) + y cos(y) = C, onde C é a constante de integração.

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