Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty raiznn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente descobrir se a série sumn=1^+infty raiznn^2+1 converge ou não. A matéria envolvida aqui é a análise de séries infinitas, e para isso vamos precisar usar o Teste de Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma série p. Uma série da forma sumn=1^+infty 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Olhando para a nossa série, raiznn^2+1, vamos simplificar o termo para ver com qual série p podemos comparar.

Passo 3

Observando o termo raiznn^2+1, percebemos que, para valores grandes de n, o +1 no denominador não muda muito, então podemos aproximar raiznn^2+1 approx raiznn^2 = 1n^3/2. Essa é uma série p com p = 32, que sabemos ser convergente porque p > 1.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação. Já que raiznn^2+1 <= 1n^3/2 para todo n >= 1 e a série sumn=1^+infty 1n^3/2 converge, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty raiznn^2+1 converge.

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