Para cada um dos itens a seguir, resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo de equação, possivelmente encontrar um fator integrante e integrar para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Vamos reescrever a equação na forma diferencial:
Aqui, identificamos
e
. Agora, precisamos verificar se a equação é exata, ou seja, se:
Calculando:
Como
, a equação não é exata. Portanto, vamos procurar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
, ou seja,
. O fator integrante deve satisfazer:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para encontrar
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Para encontrar a solução, buscamos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Comparando, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.