Para cada um dos itens a seguir, resolva a equação diferencial:
y+(2 x y-e^-2 y) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial y + (2x y - e^-2y) y' = 0 . Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo de equação, possivelmente encontrar um fator integrante e integrar para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar y' isolado. A equação original é:
y + (2x y - e^-2y) y' = 0
Subtraindo y de ambos os lados:
(2x y - e^-2y) y' = -y
Dividindo ambos os lados por 2x y - e^-2y :
y' = -y2x y - e^-2y

Passo 3

Vamos reescrever a equação na forma diferencial:
(2x y - e^-2y) dy + y dx = 0
Aqui, identificamos M(x, y) = y e N(x, y) = 2x y - e^-2y . Agora, precisamos verificar se a equação é exata, ou seja, se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y = 1 e partial Npartial x = 2y
Como 1 neq 2y , a equação não é exata. Portanto, vamos procurar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de y , ou seja, mu(y) . O fator integrante deve satisfazer:
mu'mu = 2y - 1y
Integrando ambos os lados:
ln(mu) = integral (2 - 1y) dy = 2y - ln|y| + C
Exponenciando para encontrar mu :
mu = e^2y/y

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu = e^2y/y :
e^2yy cdot y dx + e^2yy cdot (2x y - e^-2y) dy = 0
Simplificando:
e^2y dx + (2x e^2y - 1y) dy = 0
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Para encontrar a solução, buscamos uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = e^2y e partial Fpartial y = 2x e^2y - 1y
Integrando partial Fpartial x em relação a x :
F(x, y) = e^2y x + h(y)
Derivando F(x, y) em relação a y :
partial Fpartial y = 2x e^2y + h'(y) = 2x e^2y - 1y
Comparando, temos:
h'(y) = -1y Rightarrow h(y) = -ln|y| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^2y cdot x - ln y = C
onde C é a constante de integração.

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