Universidade Estadual de Maringá- UEM <br> Curso: Engenharia Química <br> Avaliação 3 de Cálculo Diferencial e Integral III <br> Professor: Juan Soriano Palomino Nome do aluno (a):

4^a Questão (2,5 pontos) Resolver o seguinte problema
l partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0, 0<x<a, 0<y<b u(0, y)=0, u(a, y)=0, 0<y<b u(x, 0)=0, u(x, b)=f(x), 0<x<a
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O que a gente tem aqui é um problema envolvendo a equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial muito importante em física e engenharia. A equação dada é:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Estamos trabalhando no retângulo 0 < x < a e 0 < y < b, com algumas condições nas bordas desse retângulo:
  • Nas bordas x = 0 e x = a, a função u é zero.
  • Na borda inferior y = 0, u também é zero.
  • Na borda superior y = b, u é igual a uma função f(x).
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a decompor a equação em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução u(x, y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de y:
u(x, y) = X(x) cdot Y(y)
Agora, substituímos essa forma na equação de Laplace:
partial^2 (X Y)partial x^2 + partial^2 (X Y)partial y^2 = 0
Como Y não depende de x e X não depende de y, as derivadas ficam:
Y cdot d^2 Xd x^2 + X cdot d^2 Yd y^2 = 0
Podemos dividir ambos os lados por X Y:
1X cdot d^2 Xd x^2 + 1Y cdot d^2 Yd y^2 = 0
Desse jeito, cada termo depende apenas de uma variável, então a única maneira de a soma ser zero é que cada termo seja igual a uma constante negativa. Vamos chamar essa constante de lambda:
1X cdot d^2 Xd x^2 = -lambda e 1Y cdot d^2 Yd y^2 = lambda

Passo 3

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para X(x):
d^2 Xd x^2 + lambda X = 0
  1. Para Y(y):
d^2 Yd y^2 - lambda Y = 0
Vamos resolver cada uma delas.
Para X(x):
A solução da equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno:
X(x) = A cos(raizlambda , x) + B sin(raizlambda , x)
Para Y(y):
A solução aqui envolve funções exponenciais, mas para mantermos a solução real, usamos uma combinação de funções hiperbólicas:
Y(y) = C cosh(raizlambda , y) + D sinh(raizlambda , y)

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de fronteira para determinar os coeficientes e os valores possíveis de lambda.
Condições em x = 0 e x = a:
Como u(0, y) = 0 e u(a, y) = 0, implantamos essas condições na solução:
u(0, y) = X(0) Y(y) = 0 Rightarrow X(0) = 0
u(a, y) = X(a) Y(y) = 0 Rightarrow X(a) = 0
Aplicando X(0) = 0 na expressão de X(x):
A cos(0) + B sin(0) = A = 0
Então, X(x) = B sin(raizlambda , x).
Agora, aplicando X(a) = 0:
B sin(raizlambda , a) = 0
Para que isso seja satisfeito para B neq 0, precisamos que:
sin(raizlambda , a) = 0 Rightarrow raizlambda , a = npi onde n = 1, 2, 3, dots
Então,
lambdan = (npia)^2

Passo 5

Agora, voltamos para a função Y(y) com lambdan:
Yn(y) = Cn cosh(npia y) + Dn sinh(npia y)
Aplicamos as condições em y = 0 e y = b:
  • u(x, 0) = 0:
X(x) Yn(0) = 0 Rightarrow Yn(0) = 0 Rightarrow Cn = 0
Então,
Yn(y) = Dn sinh(npia y)
  • u(x, b) = f(x):
sumn=1^infty Bn sin(npia x) Dn sinh(npia b) = f(x)
Para achar os coeficientes Bn Dn, usamos a série de Fourier para f(x):
f(x) = sumn=1^infty Fn sin(npia x)
Então, igualando os termos:
Bn Dn sinh(npia b) = Fn Rightarrow Bn Dn = Fnsinh(npia b)
Podemos escolher, por simplicidade, Bn = Fn e Dn = 1sinh(npia b).

Resposta

A solução geral do problema é dada por:
u(x, y) = sumn=1^infty Fn sin(npia x) sinh(npia y)sinh(npia b)
Onde os coeficientes Fn são determinados pelos coeficientes da série de Fourier da função f(x):
Fn = 2a integral0^a f(x) sin(npia x) dx
Então, substituindo Fn na expressão de u(x, y), temos a solução completa.

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