Nos exercícios a seguir, use identidades trigonométricas antes de aplicar a transformada de Laplace:
f(t)=\sin (4 t-5)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\sin(4t-5).
O conteúdo envolvido é a identidade trigonométrica de ângulo composto
\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b
e as transformadas básicas
\mathcal{L}\{\sin \omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},\quad \mathcal{L}\{\cos \omega t\}=\frac{s}{s^2+\omega^2},
além da linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Aplique a identidade de ângulo composto com a=4t e b=5:
\sin(4t-5)=\sin(4t)\cos5-\cos(4t)\sin5.

Passo 3

Reescrevendo f(t) com as constantes extraídas, fica
f(t)=\cos5\;\sin(4t)\;-\;\sin5\;\cos(4t).

Passo 4

Usando a linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas básicas, temos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\cos5\;\mathcal{L}\{\sin(4t)\} -\sin5\;\mathcal{L}\{\cos(4t)\} =\cos5\;\frac{4}{s^2+16} -\sin5\;\frac{s}{s^2+16}.
Colocando em uma única fração:
\mathcal{L}\{\sin(4t-5)\} =\frac{4\cos5 - s\sin5}{s^2+16}.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin(4t-5)\} =\frac{4\cos5 - s\sin5}{s^2+16}.

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