Em cada lançamento de um dado (não justo) as faces ímpares ocorrem com probabilidade C, cada uma delas, enquanto a probabilidade de uma face par ocorrer é de 2C.
Suponha um lançamento desse dado e defina:
Encontre a função de probabilidade conjunta de
.
Suponha um lançamento desse dado e defina:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um dado que não é justo, ou seja, as probabilidades de cada face não são iguais. As faces ímpares (1, 3, 5) têm probabilidade $ C $ cada, e as faces pares (2, 4, 6) têm probabilidade $ 2C $ cada. A questão define duas variáveis aleatórias:
- $ X $: igual a 1 se sair um número par, e 0 caso contrário.
- $ Y $: igual a 1 se sair um número maior que 3, e 0 caso contrário.
Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta de $ (X, Y) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades em variáveis aleatórias e como calcular probabilidades conjuntas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de $ C $. Sabemos que todas as probabilidades devem somar 1. Temos:
- 3 faces ímpares com probabilidade $ C $ cada.
- 3 faces pares com probabilidade $ 2C $ cada.
Então:
Passo 3
Agora que sabemos que $ C = \frac{1}{9} $, podemos calcular as probabilidades individuais de cada face:
- Cada face ímpar (1, 3, 5): $ \frac{1}{9} $
- Cada face par (2, 4, 6): $ 2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $
Passo 4
Vamos identificar todas as combinações possíveis de $ X $ e $ Y $:
- $ X = 0 $ e $ Y = 0 $: Números impares e
→ 1 e 3 - $ X = 0 $ e $ Y = 1 $: Números impares e $ > 3 $ → 5
- $ X = 1 $ e $ Y = 0 $: Números pares e
→ 2 - $ X = 1 $ e $ Y = 1 $: Números pares e $ > 3 $ → 4 e 6
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada combinação:
-
$ P(X = 0, Y = 0) $
- Números: 1 e 3
- Cada um tem probabilidade $ \frac{1}{9} $
- Total: $ 2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $
-
$ P(X = 0, Y = 1) $
- Número: 5
- Probabilidade: $ \frac{1}{9} $
-
$ P(X = 1, Y = 0) $
- Número: 2
- Probabilidade: $ \frac{2}{9} $
-
$ P(X = 1, Y = 1) $
- Números: 4 e 6
- Cada um tem probabilidade $ \frac{2}{9} $
- Total: $ 2 \times \frac{2}{9} = \frac{4}{9} $
Resposta
A função de probabilidade conjunta de $ (X, Y) $ é: