Em cada lançamento de um dado (não justo) as faces ímpares ocorrem com probabilidade C, cada uma delas, enquanto a probabilidade de uma face par ocorrer é de 2C.
Suponha um lançamento desse dado e defina:
X= 1, & se sair par 0, & caso contrário Y= 1, & se sair um número maior que 3 0, & caso contrário áúá
Encontre a função de probabilidade conjunta de (X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um dado que não é justo, ou seja, as probabilidades de cada face não são iguais. As faces ímpares (1, 3, 5) têm probabilidade $ C $ cada, e as faces pares (2, 4, 6) têm probabilidade $ 2C $ cada. A questão define duas variáveis aleatórias:
  • $ X $: igual a 1 se sair um número par, e 0 caso contrário.
  • $ Y $: igual a 1 se sair um número maior que 3, e 0 caso contrário.
Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta de $ (X, Y) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades em variáveis aleatórias e como calcular probabilidades conjuntas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de $ C $. Sabemos que todas as probabilidades devem somar 1. Temos:
  • 3 faces ímpares com probabilidade $ C $ cada.
  • 3 faces pares com probabilidade $ 2C $ cada.
Então:
C

Passo 3

Agora que sabemos que $ C = \frac{1}{9} $, podemos calcular as probabilidades individuais de cada face:
  • Cada face ímpar (1, 3, 5): $ \frac{1}{9} $
  • Cada face par (2, 4, 6): $ 2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $

Passo 4

Vamos identificar todas as combinações possíveis de $ X $ e $ Y $:
  1. $ X = 0 $ e $ Y = 0 $: Números impares e X → 1 e 3
  2. $ X = 0 $ e $ Y = 1 $: Números impares e $ > 3 $ → 5
  3. $ X = 1 $ e $ Y = 0 $: Números pares e Y → 2
  4. $ X = 1 $ e $ Y = 1 $: Números pares e $ > 3 $ → 4 e 6

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada combinação:
  1. $ P(X = 0, Y = 0) $
    • Números: 1 e 3
    • Cada um tem probabilidade $ \frac{1}{9} $
    • Total: $ 2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $
  2. $ P(X = 0, Y = 1) $
    • Número: 5
    • Probabilidade: $ \frac{1}{9} $
  3. $ P(X = 1, Y = 0) $
    • Número: 2
    • Probabilidade: $ \frac{2}{9} $
  4. $ P(X = 1, Y = 1) $
    • Números: 4 e 6
    • Cada um tem probabilidade $ \frac{2}{9} $
    • Total: $ 2 \times \frac{2}{9} = \frac{4}{9} $

Resposta

A função de probabilidade conjunta de $ (X, Y) $ é:
(X, Y)

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