Um estudante faz uma prova de 4 questões, cada uma do tipo verdadeiro ou falso. Assuma que ele chute as respostas em cada questão. Defina: X1= número de acertos nas 2 primeiras questões; X2= número de acertos nas 2 últimas questões.
Repita este exercício, supondo que cada questão tem agora 4 respostas possíveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um estudante que faz uma prova de 4 questões, cada uma com respostas de verdadeiro ou falso. A gente precisa analisar o número de acertos nas primeiras 2 questões ( X1) e nas últimas 2 questões ( X2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, especialmente sobre experimentos com resultados igualmente prováveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as possibilidades para cada questão. Como são verdadeiro ou falso, cada questão tem 2 opções. Como o estudante está chutando, a chance de acertar é de 12 e de errar também é 12.

Passo 3

Agora, vamos focar nas primeiras 2 questões e definir X1 como o número de acertos. As possibilidades de acertos são 0, 1 ou 2. Vamos calcular a probabilidade de cada caso:
  • 0 acertos: O estudante erra as duas questões. A probabilidade é (12)^2 = 14.
  • 1 acerto: Ele acerta uma e erra outra. Como pode acontecer de duas formas (acertar a primeira e errar a segunda ou vice-versa), a probabilidade é 2 times (12)^2 = 24 = 12.
  • 2 acertos: Ele acerta as duas questões. A probabilidade é (12)^2 = 14.

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para as últimas 2 questões, definindo X2. Como as questões são independentes das primeiras, as probabilidades serão iguais:
  • 0 acertos: 14
  • 1 acerto: 12
  • 2 acertos: 14

Passo 5

Vamos montar a distribuição conjunta de X1 e X2. Isso significa considerar todas as combinações possíveis de acertos nas primeiras e últimas 2 questões. Como cada par (X1, X2) é independente, multiplicamos as probabilidades:
X1 X2 Probabilidade
0 0 14 times 14 = 116
0 1 14 times 12 = 18
0 2 14 times 14 = 116
1 0 12 times 14 = 18
1 1 12 times 12 = 14
1 2 12 times 14 = 18
2 0 14 times 14 = 116
2 1 14 times 12 = 18
2 2 14 times 14 = 116

Passo 6

Agora, vamos repetir o exercício considerando que cada questão tem 4 opções de resposta. A chance de acertar muda, já que agora a probabilidade de acertar cada questão é 14 e de errar é 34.

Passo 7

Vamos recalcular as probabilidades para X1 e X2 com estas novas probabilidades:
Para X1:
  • 0 acertos: (34)^2 = 916
  • 1 acerto: 2 times 14 times 34 = 616 = 38
  • 2 acertos: (14)^2 = 116
O mesmo vale para X2.

Passo 8

Montamos novamente a distribuição conjunta para X1 e X2:
X1 X2 Probabilidade
0 0 916 times 916 = 81256
0 1 916 times 38 = 27128
0 2 916 times 116 = 9256
1 0 38 times 916 = 27128
1 1 38 times 38 = 964
1 2 38 times 116 = 3128
2 0 116 times 916 = 9256
2 1 116 times 38 = 3128
2 2 116 times 116 = 1256

Resposta

Assim, a distribuição conjunta de X1 e X2 foi calculada tanto para o caso de verdadeiro ou falso quanto para o caso de 4 opções por questão. No primeiro cenário, as probabilidades variam de 116 a 14, e no segundo cenário, as probabilidades específicas são distribuídas de acordo com as novas chances de acerto. Essa análise ajuda a entender melhor como as probabilidades se comportam em diferentes formatos de perguntas.

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