Um estudante faz uma prova de 4 questões, cada uma do tipo verdadeiro ou falso. Assuma que ele chute as respostas em cada questão. Defina:
número de acertos nas 2 primeiras questões;
número de acertos nas 2 últimas questões.
Repita este exercício, supondo que cada questão tem agora 4 respostas possíveis.
Repita este exercício, supondo que cada questão tem agora 4 respostas possíveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um estudante que faz uma prova de 4 questões, cada uma com respostas de verdadeiro ou falso. A gente precisa analisar o número de acertos nas primeiras 2 questões (
) e nas últimas 2 questões (
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, especialmente sobre experimentos com resultados igualmente prováveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as possibilidades para cada questão. Como são verdadeiro ou falso, cada questão tem 2 opções. Como o estudante está chutando, a chance de acertar é de
e de errar também é
.
Passo 3
Agora, vamos focar nas primeiras 2 questões e definir
como o número de acertos. As possibilidades de acertos são 0, 1 ou 2. Vamos calcular a probabilidade de cada caso:
- 0 acertos: O estudante erra as duas questões. A probabilidade é
. - 1 acerto: Ele acerta uma e erra outra. Como pode acontecer de duas formas (acertar a primeira e errar a segunda ou vice-versa), a probabilidade é
. - 2 acertos: Ele acerta as duas questões. A probabilidade é
.
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para as últimas 2 questões, definindo
. Como as questões são independentes das primeiras, as probabilidades serão iguais:
- 0 acertos:
- 1 acerto:
- 2 acertos:
Passo 5
Vamos montar a distribuição conjunta de
e
. Isso significa considerar todas as combinações possíveis de acertos nas primeiras e últimas 2 questões. Como cada par
é independente, multiplicamos as probabilidades:
|
|
Probabilidade |
---|---|---|
0 | 0 |
|
0 | 1 |
|
0 | 2 |
|
1 | 0 |
|
1 | 1 |
|
1 | 2 |
|
2 | 0 |
|
2 | 1 |
|
2 | 2 |
|
Passo 6
Agora, vamos repetir o exercício considerando que cada questão tem 4 opções de resposta. A chance de acertar muda, já que agora a probabilidade de acertar cada questão é
e de errar é
.
Passo 7
Vamos recalcular as probabilidades para
e
com estas novas probabilidades:
Para
:
- 0 acertos:
- 1 acerto:
- 2 acertos:
O mesmo vale para
.
Passo 8
Montamos novamente a distribuição conjunta para
e
:
|
|
Probabilidade |
---|---|---|
0 | 0 |
|
0 | 1 |
|
0 | 2 |
|
1 | 0 |
|
1 | 1 |
|
1 | 2 |
|
2 | 0 |
|
2 | 1 |
|
2 | 2 |
|
Resposta
Assim, a distribuição conjunta de
e
foi calculada tanto para o caso de verdadeiro ou falso quanto para o caso de 4 opções por questão. No primeiro cenário, as probabilidades variam de
a
, e no segundo cenário, as probabilidades específicas são distribuídas de acordo com as novas chances de acerto. Essa análise ajuda a entender melhor como as probabilidades se comportam em diferentes formatos de perguntas.