Seja (X, Y) um vetor aleatório contínuo com função de densidade conjunta definida por:
f(x, y)=12 e^-x+2, x>2, 1 <= y <= 3
Encontre as funções de distribuições marginais das variáveis aleatórias X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar as distribuições marginais das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ a partir da função de densidade conjunta que nos foi dada. O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade e estatística, mais especificamente a parte de distribuições conjuntas e marginais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função de densidade conjunta em relação a uma das variáveis para obter a marginal da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição marginal. Se temos duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ com uma função de densidade conjunta $ f(x, y) $, a distribuição marginal de $ X $ é obtida integrando $ f(x, y) $ em relação a $ Y $, e vice-versa.

Passo 3

Vamos começar encontrando a distribuição marginal de $ X $, que chamaremos de $ f_X(x) $. Para isso, integramos $ f(x, y) $ em relação a $ y $ no intervalo onde a função está definida.
Então,
X

Passo 4

Substituindo a função de densidade conjunta que foi dada:
fX(x) = integral1^3 12 e^-x + 2 , dy
Como $ \frac{1}{2} e^{-x + 2} $ não depende de $ y $, podemos simplificar a integral.

Passo 5

A integral fica:
fX(x) = 12 e^-x + 2 integral1^3 , dy
A integral de $ dy $ de 1 a 3 é simplesmente a diferença dos limites:
dy

Passo 6

Então,
fX(x) = 12 e^-x + 2 times 2 = e^-x + 2
Simplificando, temos:
fX(x) = e^-x + 2 para x > 2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a distribuição marginal de $ Y $, que chamaremos de $ f_Y(y) $. Para isso, integramos $ f(x, y) $ em relação a $ x $ no intervalo onde a função está definida.
Então,
Y

Passo 8

Substituindo a função de densidade conjunta:
fY(y) = integral2^infty 12 e^-x + 2 , dx
Aqui, $ \frac{1}{2} e^{2} $ pode ser fatorado para facilitar a integração.

Passo 9

Fatorando:
fY(y) = 12 e^2 integral2^infty e^-x , dx
A integral de $ e^{-x} $ de 2 a infinito é conhecida e vale $ e^{-2} $.

Passo 10

Assim,
fY(y) = 12 e^2 times e^-2 = 12
Portanto, a distribuição marginal de $ Y $ é constante no intervalo dado.

Resposta

As distribuições marginais são:
fX(x) = e^-x + 2, x > 2
e
fY(y) = 12, 1 <= y <= 3

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