Seja
um vetor aleatório contínuo com função de densidade conjunta definida por:
Encontre as funções de distribuições marginais das variáveis aleatórias
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar as distribuições marginais das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ a partir da função de densidade conjunta que nos foi dada. O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade e estatística, mais especificamente a parte de distribuições conjuntas e marginais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função de densidade conjunta em relação a uma das variáveis para obter a marginal da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição marginal. Se temos duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ com uma função de densidade conjunta $ f(x, y) $, a distribuição marginal de $ X $ é obtida integrando $ f(x, y) $ em relação a $ Y $, e vice-versa.
Passo 3
Vamos começar encontrando a distribuição marginal de $ X $, que chamaremos de $ f_X(x) $. Para isso, integramos $ f(x, y) $ em relação a $ y $ no intervalo onde a função está definida.
Então,
Passo 4
Substituindo a função de densidade conjunta que foi dada:
Como $ \frac{1}{2} e^{-x + 2} $ não depende de $ y $, podemos simplificar a integral.
Passo 5
A integral fica:
A integral de $ dy $ de 1 a 3 é simplesmente a diferença dos limites:
Passo 6
Então,
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a distribuição marginal de $ Y $, que chamaremos de $ f_Y(y) $. Para isso, integramos $ f(x, y) $ em relação a $ x $ no intervalo onde a função está definida.
Então,
Passo 8
Substituindo a função de densidade conjunta:
Aqui, $ \frac{1}{2} e^{2} $ pode ser fatorado para facilitar a integração.
Passo 9
Fatorando:
A integral de $ e^{-x} $ de 2 a infinito é conhecida e vale $ e^{-2} $.
Passo 10
Assim,
Portanto, a distribuição marginal de $ Y $ é constante no intervalo dado.
Resposta
As distribuições marginais são:
e