Cada limite representa a derivada de alguma função f em algum número ^a. Estabeleça f^prime(a) em cada caso.
lim t 0 sen(pi2+t)-1t

Passo 1

O enunciado pede
limtto0senl(tfracpi2+tr)-1t
e lembra a definição de derivada de uma função f em a:
f'(a)=limtto0f(a+t)-f(a)t

Passo 2

Comparando com a forma geral, identificamos
f(x)=sen x, a=pi2, f(a)=sen!l(tfracpi2r)=1

Passo 3

Reescrevemos o numerador usando
sen!l(tfracpi2+tr)=cos t,
ficando
sen(tfracpi2+t)-1t =cos t-1t

Passo 4

Sabemos que cos t=1-tfract^22+o(t^2) quando tto0, logo
limtto0cos t-1t =0

Passo 5

Portanto
f'(a)=limtto0sen(tfracpi2+t)-1t=0
Também confirma que, pela regra f'(x)=cos x, temos f'(tfracpi2)=cos(tfracpi2)=0.

Resposta

f'(tfracpi2)=0

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