Cada limite representa a derivada de alguma função f em algum número ^a. Estabeleça f^prime(a) em cada caso.
lim x 0 3^x-1x

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
limxto03^x-1x
e diz que ele representa a derivada de alguma função f em um ponto a. Nosso objetivo é identificar f e a de modo que
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
e, em seguida, calcular esse valor.

Passo 2

Comparemos a forma do limite dado com a definição de derivada:
f(x)-f(a)x-a
No nosso caso o numerador é 3^x-1. Logo faz sentido escolher
f(x)=3^x e f(a)=1
Como f(a)=3^a=1 acontece se, e somente se, a=0. Portanto
f(x)=3^x e a=0

Passo 3

Agora aplicamos a regra de derivação da função exponencial base 3:
f'(x)=ddxl(3^xr)=3^xln(3)

Passo 4

Basta avaliar em x=a=0:
f'(0)=3^0ln(3)=1cdotln(3)=ln(3)

Resposta

f(x)=3^x, a=0, f'(0)=ln(3)

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