Considere um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E, uma resistência R e um condensador com capacitância C, ligados em série (Circuito RC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q é tal que
R dqdt+1C q=E(t)
sendo a intensidade de corrente i em cada instante de tempo t dada por i(t)=dqdt.
Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância é 10^-6 farads.
Determinar a intensidade de corrente i(t).

Passo 1

O enunciado apresenta um circuito série RC com resistência R=200 Omega, capacitância C=10^-6 F e força eletromotriz constante E(t)=100 V. A equação que governa a carga q(t) no condensador é
Rdqdt+1Cq=E(t)
Queremos determinar a intensidade de corrente i(t)=dqdt. Para isso, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem, supondo que o condensador esteja descarregado em t=0, ou seja, q(0)=0.

Passo 2

Substituímos os valores numéricos na equação:
200dqdt+110^-6,q=100
ou seja
200dqdt+10^6,q=100

Passo 3

Colocamos em forma padrão dividindo por 200:
dqdt+underbrace10^6200=5000,q=underbrace100200=0,5
Logo, a equação é
dqdt+5000,q=0,5

Passo 4

Resolvemos por método de solução geral: a parte homogênea é
dqhdt+5000,qh=0 Longrightarrow qh(t)=A,e^-5000t
Uma solução particular constante qp satisfaz 5000,qp=0,5, logo
qp=0,55000=10^-4
A solução geral é
q(t)=A,e^-5000t+10^-4
Impondo q(0)=0 A+10^-4=0, ou seja A=-10^-4. Portanto
q(t)=10^-4l(1-e^-5000tr)

Passo 5

A corrente é i(t)=dqdt. Diferenciando:
i(t)=ddtl[10^-4l(1-e^-5000tr)r] =10^-4cdot5000,e^-5000t =0,5,e^-5000t(ampères) è

Resposta

i(t)=0,5,e^-5000t A

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