Considere um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E, uma resistência R e um condensador com capacitância C, ligados em série (Circuito RC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q é tal que
R dqdt+1C q=E(t)
sendo a intensidade de corrente i em cada instante de tempo t dada por i(t)=dqdt.
Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância é 10^-6 farads.
Determinar a carga do condensador em cada instante t, sabendo que no instante inicial a carga no condensador é nula.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RC em série com resistência R, capacitância C e uma fonte de tensão E(t). Precisamos encontrar a carga q(t) do condensador satisfazendo a equação diferencial de primeira ordem
Rdqdt + 1C q = E(t)
com E(t)=100 V (constante) e q(0)=0. O conteúdo envolve EDO linear de 1ª ordem e teoria de circuitos RC.

Passo 2

Substituímos R=200 Ω, C=10^{-6} F e E=100 V na equação e dividimos tudo por R para colocar na forma padrão
dqdt + 1RC,q = ER

Passo 3

Calculamos os parâmetros numéricos do circuito
RC = 200times10^-6 = 2times10^-4 s,
1RC = 5000 s^-1, ER = 100200 = 0.5 C/s

Passo 4

Para resolver a EDO usamos o fator integrante
mu(t) = e^integral 5000,dt = e^5000t
Multiplicando a equação por µ(t) obtemos
ddtl(q e^5000tr) = 0.5,e^5000t
Integrando em t:
q e^5000t = integral 0.5,e^5000t,dt = 0.55000e^5000t + K = 10^-4e^5000t + K

Passo 5

Aplicamos a condição inicial q(0)=0 para achar K:
0 = q(0)e^0 = 10^-4 + K Longrightarrow K = -10^-4
Logo a solução é
q(t) = 10^-4l(1 - e^-5000tr)

Resposta

q(t)=10^-4l(1 - e^-5000tr) C

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