Cada limite representa a derivada de alguma função f em algum número ^a. Estabeleça f^prime(a) em cada caso.
a) lim h 0 raiz1+h-1h
b) lim h 0 (2+h)^3-8h
c) lim x 0 x^9-1x-1
d) lim x 3 pi cos x+1x-3 pi
e) lim t 0 sen(pi2+t)-1t
f) lim x 0 3^x-1x

Passo 1

O enunciado pede para reconhecer cada limite como definição de derivada
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
ou equivalente
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
e, em seguida, calcular essa derivada usando regras usuais de derivação.

Passo 2

No item a) temos
limhto0raiz1+h-1h
Identificamos f(x)=raizx e a=1. A derivada de f é
f'(x)=12raizx,
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f'(1)=12raiz1=12

Passo 3

No item b) temos
limhto0(2+h)^3-8h
Identificamos f(x)=x^3 e a=2 pois f(2)=8. A derivada de f é
f'(x)=3x^2,
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f'(2)=3cdot2^2=12

Passo 4

No item c) interpretamos
limxto1x^9-1x-1
reconhecendo f(x)=x^9 e a=1. Então
f'(x)=9x^8
e
f'(1)=9cdot1^8=9

Passo 5

No item d) temos
limxto3picos x+1x-3pi
Escrevemos f(x)=cos x e a=3pi, pois f(3pi)=cos(3pi)=-1. A derivada de f é
f'(x)=-sin x,
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f'(3pi)=-sin(3pi)=0

Passo 6

No item e) temos
limtto0senl(tfracpi2+tr)-1t
Aqui f(x)=sen x e a=tfracpi2 pois sen(tfracpi2)=1. A derivada de f é
f'(x)=cos x,
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f'l(tfracpi2r)=cosl(tfracpi2r)=0

Passo 7

No item f) temos
limxto03^x-1x
Identificamos f(x)=3^x e a=0 pois 3^0=1. A derivada de f é
f'(x)=3^xln3,
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f'(0)=3^0ln3=ln3

Resposta

a) tfrac12
b) 12
c) 9
d) 0
e) 0
f) ln 3

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