x=y+22 y-1 x(2 y-1)=y+2 2 x y-x=y+2 2 x y-y=x+2 y(2 x-1)=x+2 f^-1(x)=y=x+22 x-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(y)=y+22y-1,
definida para yneq tfrac12, e pede para encontrarmos a inversa f^-1(x). Para isso, vamos usar o procedimento de trocar x por y e resolver para y.

Passo 2

Trocando x por y e y por x, obtemos
x = y+22y-1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados pelo denominador (2y-1):
x(2y-1)=y+2 Longrightarrow 2xy - x = y + 2

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm y em um lado:
2xy - y = x + 2 Longrightarrow y,(2x-1)=x+2

Passo 5

Isolando y, obtemos
y = x+22x-1,
com a restrição de que 2x-1neq 0, ou seja, xneq tfrac12.

Resposta

f^-1(x)=x+22x-1, xneq tfrac12

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