Utilize o princípio da indução finita para verificar as afirmações abaixo.
(1-14)(1-19)(1-116) cdots(1-1n^2)=n+12 n, para todo n >= 2

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que
(1-tfrac14)(1-tfrac19)cdots(1-tfrac1n^2) = n+12n
para todo n>=2. Vamos usar o princípio da indução finita, verificando a base n=2 e o passo de indução de n=k para n=k+1.

Passo 2

Base n=2. O lado esquerdo é
1-tfrac14 = tfrac34,
e o lado direito é
2+12cdot2 = tfrac34
Como tfrac34=tfrac34, a base está estabelecida.

Passo 3

Passo de indução. Suponha que para algum k>=2 valha
(1-tfrac14)cdots(1-tfrac1k^2) = k+12k
Para n=k+1 temos
(1-tfrac14)cdots(1-tfrac1k^2) l(1-tfrac1(k+1)^2r) = k+12kl(1-tfrac1(k+1)^2r)
Agora
1-tfrac1(k+1)^2 = (k+1)^2-1(k+1)^2 = k(k+2)(k+1)^2,
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k+12kcdotk(k+2)(k+1)^2 = k+22(k+1) = (k+1)+12(k+1),
que é exatamente a fórmula para n=k+1.

Passo 4

Como a propriedade vale em n=2 e o passo de indução de k para k+1 está estabelecido, pelo princípio da indução finita a igualdade vale para todo n>=2.

Resposta

A igualdade
(1-tfrac14)(1-tfrac19)cdots(1-tfrac1n^2) = n+12n
é verdadeira para todo n>=2.

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