(2,0) Calcule os limites:
lim x 2 x^2-raiz2 x-2x-2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limx to 2 x^2 - raiz2x - 2x - 2
Esse problema envolve uma forma indeterminada tfrac00, então vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se
limxto af(x)g(x)=00ouinftyinfty,
então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que este último limite exista.

Passo 2

Para verificar a forma indeterminada, substituímos x=2:
No numerador
2^2 - raiz2cdot2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0,
e no denominador
2 - 2 = 0
Logo dá tfrac00, e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Definimos
f(x)=x^2 - raiz2x - 2, g(x)=x-2
Derivando:
f'(x)=ddx(x^2)-ddxl(raiz2xr)-ddx(2) =2x-1raiz2x-0,
pois
ddxraiz2x =12raiz2xcdot2 =1raiz2x
E
g'(x)=ddx(x)-ddx(2)=1-0=1

Passo 4

Pela Regra de L’Hôpital,
limx to 2 x^2 - raiz2x - 2x - 2 =limx to 2 f'(x)g'(x) =limx to 2l(2x - tfrac1raiz2xr)
Substituindo x=2:
2cdot2 - 1raiz2cdot2 =4 - 1raiz4 =4 - tfrac12 =tfrac72

Resposta

72

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