Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso.
(a) lim h 0 (1+h)^10-1h
(b) lim h 0 raiz[4]16+h-2h
© lim x 5 2^x-32x-5
(d) lim x pi / 4 tg x-1x-pi / 4
(e) lim h 0 cos (pi+h)+1h
(f) lim t 1 t^4+t-2t-1

Passo 1

O enunciado pede para, em cada limite, reconhecer a definição de derivada de uma função f em um ponto a. Vamos usar que
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
ou, na forma equivalente,
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a

Passo 2

No item (a) temos
limhto0(1+h)^10-1h
Isso é da forma (f(a+h)-f(a))/h com f(x)=x^10 e a=1, pois f(1+h)=(1+h)^10 e f(1)=1^10=1.

Passo 3

No item (b) observamos
limhto0raiz[4]16+h-2h
Aqui f(x)=raiz[4]x=x^1/4 e a=16, já que f(16+h)=raiz[4]16+h e f(16)=2.

Passo 4

No item © é
limxto52^x-32x-5
Note que 2^5=32. Logo f(x)=2^x e a=5, pois f(5)=32.

Passo 5

No item (d) aparece
limxtopi/4tan x-1x-pi/4
Como tan(pi/4)=1, temos f(x)=tan x e a=pi/4.

Passo 6

No item (e) temos
limhto0cos(pi+h)+1h
Escrevendo x=pi+h, isso é (f(x)-f(pi))/(x-pi) com f(x)=cos x e a=pi, pois cospi=-1.

Passo 7

No item (f) é
limtto1t^4+t-2t-1
Note que f(t)=t^4+t e f(1)=1+1=2, então o numerador é f(t)-f(1) e o ponto é a=1.

Resposta

(a) f(x)=x^10, a=1; (b) f(x)=x^1/4, a=16; © f(x)=2^x, a=5; (d) f(x)=tan x, a=pi/4; (e) f(x)=cos x, a=pi; (f) f(x)=x^4+x, a=1.

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