(2,0 pontos) Resolva a equação diferencial linear de 3^a ordem não-homogênea
d^3 yd x^3-5 d^2 yd x^2+6 d yd x=2 x+3 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 3ª ordem não-homogênea y'''-5y''+6y'=2x+3e^2x Conteúdo: resolução de EDOs lineares de ordem superior, envolvendo solução geral homógenea e particular.

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução da parte homogênea. Escrevemos a equação característica associada a r^3-5r^2+6r=0 que fatoriza como Assim as raízes são r(r-2)(r-3)=0.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é yh=C1e^0x+C2e^2x+C3e^3x=C1+C2e^2x+C3e^3x onde C1,C2,C3 são constantes.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp=yp1+yp2, onde yp1 responde ao termo polinomial 2x e yp2 ao termo exponencial 3e^2x.

Passo 5

Para o polinômio de grau 1 temos ressonância com a raiz r=0, então tentamos yp1=alpha x^2+beta x e calculamos suas derivadas: yp1'=2alpha x+beta, yp1''=2alpha, yp1'''=0\nSubstituindo em y'''-5y''+6y' e igualando a 2x obtemos
12alpha x+(6beta-10alpha)=2x+0
Logo
$$12\alpha=2\Rightarrow\alpha=\tfrac16,
;6\beta-10\alpha=0\Rightarrow\beta=\tfrac{5}{18}.$$

Passo 6

Para o termo exponencial usamos ressonância com r=2, então tentamos yp2=gamma x e^2x e calculamos derivadas:
yp2'=gamma(1+2x)e^2x, yp2''=4gamma(1+x)e^2x, yp2'''=4gamma(3+2x)e^2x Substituindo em y'''-5y''+6y' e igualando a 3e^2x
gamma e^2x[4(3+2x)-5cdot4(1+x)+6(1+2x)]=-2gamma e^2x=3e^2x
Logo (-2\gamma=3\Rightarrow\gamma=-\tfrac32.]

Passo 7

Reunindo tudo, a solução particular é
yp=tfrac16x^2+tfrac518x-tfrac32,x e^2x e a solução geral fica
y(x)=C1+C2e^2x+C3e^3x+tfrac16x^2+tfrac518x-tfrac32x e^2x

Resposta

y(x)=C1+C2e^2x+C3e^3x+16x^2+518x-32,x e^2x, onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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