(2,0 pontos) Resolva a equação diferencial linear de
ordem não-homogênea
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 3ª ordem não-homogênea
Conteúdo: resolução de EDOs lineares de ordem superior, envolvendo solução geral homógenea e particular.
Passo 2
Primeiro vamos achar a solução da parte homogênea. Escrevemos a equação característica associada a
que fatoriza como Assim as raízes são
.
Passo 3
Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
, onde
responde ao termo polinomial
e
ao termo exponencial
.
Passo 5
Para o polinômio de grau 1 temos ressonância com a raiz
, então tentamos
e calculamos suas derivadas:
\nSubstituindo em
e igualando a
obtemos
Logo
$$12\alpha=2\Rightarrow\alpha=\tfrac16,
;6\beta-10\alpha=0\Rightarrow\beta=\tfrac{5}{18}.$$
Passo 6
Para o termo exponencial usamos ressonância com
, então tentamos
e calculamos derivadas:
Logo (-2\gamma=3\Rightarrow\gamma=-\tfrac32.]
Passo 7
Reunindo tudo, a solução particular é