Para cada matriz A abaixo, decida se ela é semelhante a alguma matriz diagonal. Caso seja, encontre uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.
A=\left[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 3 & -3 \\\\ 0 & 5 & 6 & -6 \\\\ -3 & 0 & -1 & 3 \\\\ -3 & 3 & 3 & -1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para decidir se A é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existe matriz inversível P e diagonal D tais que
A = P\,D\,P^{-1}.
O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos (i) encontrar os autovalores de A, (ii) verificar se a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à multiplicidade algébrica, e (iii) escolher bases de autovetores para montar P e D.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Fazendo a expansão e simplificando, encontra-se
\chi_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+1)^2.
Logo os autovalores são \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para \lambda=2\) resolvemos \((A-2I)x=0\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} x_1 = x_4 - x_3,\\\ x_2 = 2\,x_4 - 2\,x_3, \end{cases}
com x_3\] e \(x_4 livres. Escolhendo parâmetros s=x_3, t=x_4, obtemos a forma geral
x = s\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Dessa forma a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2 e podemos tomar como autovetores, por exemplo,
v_1^{(2)}=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda=-1\) resolvemos \((A+I)x=0\). Isso conduz a \[\begin{cases} x_1 = x_4,\\\ x_2 = x_4 - x_3, \end{cases}
com x_3=s\], \(x_4=t. Assim
x = s\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Aí a multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 2 e podemos escolher autovetores
v_1^{(-1)}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2^{(-1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2+2=4, A é diagonalizável. Definimos
P=\bigl[v_1^{(2)},\,v_2^{(2)},\,v_1^{(-1)},\,v_2^{(-1)}\bigr] =\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 1\\\\ -2 & 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e a matriz diagonal
D=\operatorname{diag}(2,2,-1,-1).
Por construção, A = P\,D\,P^{-1}.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha é
P=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 1\\\\ -2 & 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
satisfazendo A=P\,D\,P^{-1}.

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