Para cada operador linear
abaixo, decida se ele é diagonalizável. Caso
seja diagonalizável, encontre uma base que o diagonaliza:
onde
é o plano pela origem de equação $x-2 y+z=0.
Passo 1
O enunciado define
, a reflexão ortogonal no plano
O conteúdo aqui é encontrar autovalores e autovetores de
para verificar se é diagonalizável.
Passo 2
Uma reflexão satisfaz
logo o polinômio mínimo de
divide
. Como as raízes
e
são distintas,
é diagonalizável.
Passo 3
Para
, resolvemos
o que caracteriza os vetores invariantes pela reflexão, ou seja, todo
. Assim
que tem dimensão 2.
Passo 4
Escolhemos uma base de
com dois vetores independentes em
. Por exemplo,
pois
Passo 5
Para
, resolvemos
o que caracteriza vetores perpendiculares a
. Um vetor normal a
é
logo
é autovetor de
com autovalor
.
Passo 6
Os vetores
são linearmente independentes e formam base de
. Em relação a essa base, a matriz de
é diagonal com entradas
. Portanto
é diagonalizável.
Resposta
Sim. Uma base que diagonaliza
é
onde os dois primeiros vetores têm autovalor
e o último autovalor
.