Para cada operador linear L abaixo, decida se ele é diagonalizável. Caso L seja diagonalizável, encontre uma base que o diagonaliza:
L=\operatorname{Ref}_{W}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde W é o plano pela origem de equação $x-2 y+z=0.

Passo 1

O enunciado define L = \operatorname{Ref}_{W}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, a reflexão ortogonal no plano
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x - 2y + z = 0\}.
O conteúdo aqui é encontrar autovalores e autovetores de L para verificar se é diagonalizável.

Passo 2

Uma reflexão satisfaz
L^2 = I,
logo o polinômio mínimo de L divide x^2-1=(x-1)(x+1). Como as raízes 1 e -1 são distintas, L é diagonalizável.

Passo 3

Para \lambda=1, resolvemos
L(v)=v
o que caracteriza os vetores invariantes pela reflexão, ou seja, todo v\in W. Assim
E_1 = \ker(L - I) = W = \{(x,y,z)\mid x-2y+z=0\},
que tem dimensão 2.

Passo 4

Escolhemos uma base de E_1 com dois vetores independentes em W. Por exemplo,
v_1 = (2,1,0),\quad v_2 = (-1,0,1),
pois
2 - 2\cdot1 + 0 = 0,\quad -1 -2\cdot0 +1 = 0.

Passo 5

Para \lambda=-1, resolvemos
L(v) = -v
o que caracteriza vetores perpendiculares a W. Um vetor normal a W é
v_3 = (1,-2,1),
logo v_3 é autovetor de L com autovalor -1.

Passo 6

Os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e formam base de \mathbb{R}^3. Em relação a essa base, a matriz de L é diagonal com entradas \{1,1,-1\}. Portanto L é diagonalizável.

Resposta

Sim. Uma base que diagonaliza L é
\{(2,1,0),\,(-1,0,1),\,(1,-2,1)\},
onde os dois primeiros vetores têm autovalor 1 e o último autovalor -1.

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