Considere a sequência de vetores \mathbf{x}_{0}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \ldots, \mathbf{x}_{k}, \ldots, definida por \mathbf{x}_{k+1}=A \mathbf{x}_{k}, onde A é a matriz
e \mathbf{x}_{0} é o vetor inicial \mathbf{x}_{0}=(-1,2,2)^{\top}. Mostre que, quando k \rightarrow+\infty, essa sequência converge para um certo autovetor \mathbf{x}_{*} de A (e determine esse autovetor).
Queremos mostrar que \mathbf{x}_{k} converge, quando k\to+\infty, para um autovetor \mathbf{x}_{*} de A, e determinar esse \mathbf{x}_{*}. Para isso vamos usar a diagonalização (ou seja, a decomposição ortogonal) de A e analisar as potências A^{k}.
Passo 2
Observando a matriz, note que podemos escrevê-la como