Considere a sequência de vetores \mathbf{x}_{0}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \ldots, \mathbf{x}_{k}, \ldots, definida por \mathbf{x}_{k+1}=A \mathbf{x}_{k}, onde A é a matriz
A=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc} 7 & -2 & -2 \\\\ -2 & 7 & -2 \\\\ -2 & -2 & 7 \end{array}\right]
e \mathbf{x}_{0} é o vetor inicial \mathbf{x}_{0}=(-1,2,2)^{\top}. Mostre que, quando k \rightarrow+\infty, essa sequência converge para um certo autovetor \mathbf{x}_{*} de A (e determine esse autovetor).

Passo 1

O enunciado define a sequência de vetores
\mathbf{x}_{k+1} = A\,\mathbf{x}_{k},
com
A = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 7 & -2 & -2\\\\ -2 & 7 & -2\\\\ -2 & -2 & 7 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x}_{0} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.
Queremos mostrar que \mathbf{x}_{k} converge, quando k\to+\infty, para um autovetor \mathbf{x}_{*} de A, e determinar esse \mathbf{x}_{*}. Para isso vamos usar a diagonalização (ou seja, a decomposição ortogonal) de A e analisar as potências A^{k}.

Passo 2

Observando a matriz, note que podemos escrevê-la como
A = I - \frac{2}{9}J,
onde
J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para qualquer vetor \mathbf{v}, J\,\mathbf{v} = (\sum_{i}v_{i})\,(1,1,1)^{\top}. Dessarte:
  1. Se \sum_{i}v_{i}=0, então J\,\mathbf{v}=\mathbf{0} e
A\,\mathbf{v} = \mathbf{v} - \tfrac{2}{9}J\,\mathbf{v} = \mathbf{v},
ou seja, todo vetor com soma das coordenadas zero é autovetor de A com autovalor \lambda=1.
  1. Se \mathbf{u}=(1,1,1)^{\top}, então J\,\mathbf{u}=3\,\mathbf{u} e
A\,\mathbf{u} = \mathbf{u} - \tfrac{2}{9}\cdot3\,\mathbf{u} = \mathbf{u} - \tfrac{2}{3}\,\mathbf{u} = \tfrac{1}{3}\,\mathbf{u},
logo \mathbf{u} é autovetor com autovalor \lambda=\tfrac{1}{3}.
Assim, A tem espectro \{1,1,\tfrac13\}, sendo a multiplicidade do valor 1 igual a 2.

Passo 3

Escrevemos \mathbf{x}_{0} como soma de componentes paralela e ortogonal a \mathbf{u}=(1,1,1)^{\top}. Primeiro,
\text{soma de } \mathbf{x}_{0} = -1 + 2 + 2 = 3,
então a projeção de \mathbf{x}_{0} em \mathbf{u} é
\mathbf{p} = \frac{\mathbf{x}_{0}\cdot\mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}\,\mathbf{u} = \frac{3}{3}\,(1,1,1)^{\top} = (1,1,1)^{\top}.
Logo a componente ortogonal (soma zero) é
\mathbf{q} = \mathbf{x}_{0} - \mathbf{p} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
e de fato \sum q_{i}= -2+1+1=0.

Passo 4

Usando a diagonalização por blocos de A, temos
\mathbf{x}_{k} = A^{k}\,\mathbf{x}_{0} = A^{k}(\mathbf{p} + \mathbf{q}) = A^{k}\mathbf{p} + A^{k}\mathbf{q} = \bigl(\tfrac13\bigr)^{k}\mathbf{p} + 1^{k}\mathbf{q}.
Quando k\to+\infty, o termo \bigl(\tfrac13\bigr)^{k}\mathbf{p}\to\mathbf{0} e sobra
\mathbf{x}_{k}\;\longrightarrow\;\mathbf{q} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Esse vetor \mathbf{q} é autovetor de A com autovalor 1.

Resposta

\mathbf{x}_{*} = \lim_{k\to\infty}\mathbf{x}_{k} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
que satisfaz A\,\mathbf{x}_{*}=\mathbf{x}_{*}.

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