Para cada operador linear L abaixo, decida se ele é diagonalizável. Caso L seja diagonalizável, encontre uma base que o diagonaliza: L: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, L\left(\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cccc}3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\end{array}\right].
Resolvendo \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}=0
dá x_1=0, x_2 livre, logo a dimensão do espaço próprio de \lambda=3 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2.
que análogamente leva a x_1=0, x_2 livre, dimensão do espaço próprio igual a 1, também menor que 2.]
Passo 4
Como para ambos os valores próprios a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), o operador não tem bases formadas por vetores próprios suficientes para preencher \mathbb{R}^4. Portanto, L NÃO é diagonalizável.