Para cada operador linear L abaixo, decida se ele é diagonalizável. Caso L seja diagonalizável, encontre uma base que o diagonaliza:
L: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, L\left(\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cccc}3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
L:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\qquad [L]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}
Queremos decidir se L é diagonalizável. Para isso, precisamos calcular os valores próprios, suas multiplicidades algébricas e geométricas, e comparar.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de [L]_{\text{can}}. É block‐diagonal, logo
\chi_L(\lambda) =\det\!\bigl(\begin{smallmatrix}3-\lambda&0\\\ 1&3-\lambda\end{smallmatrix}\bigr) \cdot \det\!\bigl(\begin{smallmatrix}2-\lambda&0\\\ -1&2-\lambda\end{smallmatrix}\bigr) =(3-\lambda)^2\,(2-\lambda)^2.
Assim, os valores próprios são \lambda=3 e \lambda=2, cada um com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Agora encontramos a multiplicidade geométrica de cada valor próprio, ou seja, a dimensão de \ker(L-\lambda I).
Para \lambda=3, a parte relevante da matriz é
\begin{pmatrix} 3-3 & 0 \\[6pt] 1 & 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[3pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}=0
x_1=0, x_2 livre, logo a dimensão do espaço próprio de \lambda=3 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2.
Para \lambda=2, a parte relevante é
\begin{pmatrix} 2-2 & 0 \\[6pt] -1 & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[3pt] -1 & 0 \end{pmatrix},
que análogamente leva a x_1=0, x_2 livre, dimensão do espaço próprio igual a 1, também menor que 2.]

Passo 4

Como para ambos os valores próprios a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), o operador não tem bases formadas por vetores próprios suficientes para preencher \mathbb{R}^4. Portanto, L NÃO é diagonalizável.

Resposta

L não é diagonalizável.

Exercícios relacionados