Para cada matriz A abaixo, decida se ela é semelhante a alguma matriz diagonal. Caso seja, encontre uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.
A=\left[\begin{array}{cccc}-3 & 3 & 2 & -1 \\\\ -3 & 5 & 5 & -3 \\\\ -3 & 0 & -1 & 3 \\\\ -5 & 3 & 2 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 & -1\\\\ -3 & 5 & 5 & -3\\\\ -3 & 0 & -1 & 3\\\\ -5 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede para decidir se ela é semelhante a uma matriz diagonal. O conteúdo aqui é diagonalização: vamos precisar do polinômio característico de A, fatorá-lo para achar os autovalores e depois encontrar vetores próprios que nos dão a matriz P e a diagonal D.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A - \lambda I). Com expansão por menores ou operações de linha chega‐se a
\chi_A(\lambda) =(\lambda-1)\,(\lambda-2)\,\bigl(\lambda^2+\lambda+2\bigr).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2,\quad \lambda_{3,4} = \frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2},
todos distintos (em \mathbb{C}).

Passo 3

Como os quatro autovalores são distintos em \mathbb{C}, A é diagonalizável sobre \mathbb{C}. A matriz diagonal D será
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{-1 + i\sqrt{7}}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{-1 - i\sqrt{7}}{2} \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora encontraremos vetores próprios não–nulos v_j de A associados a cada \lambda_j.
  1. Para \lambda_1=1, resolvemos (A-I)x=0 e obtemos, por exemplo,
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[3pt]5/3\\[3pt]0\\[3pt]1\end{pmatrix}.
  1. Para \lambda_2=2, resolvendo (A-2I)x=0 dá-se
v_2 = \begin{pmatrix}1\\[3pt]2\\[3pt]0\\[3pt]1\end{pmatrix}.
  1. Para \displaystyle \lambda_3 = \tfrac{-1+i\sqrt7}{2}, um cálculo análogo mostra que uma escolha é
v_3 = \begin{pmatrix} -\dfrac{1+\lambda_3}{3+\lambda_3}\\[6pt] -\dfrac{3+\lambda_3}{3}\\[6pt] 1\\[3pt] 0 \end{pmatrix},
onde \lambda_3=(-1+i\sqrt7)/2.
4. Para \lambda_4 = \overline{\lambda_3}, basta tomar o conjugado complexo de v_3:
v_4 = \overline{v_3}.]

Passo 5

Formamos então
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\;v_4\bigr],
que é invertível pois os v_j são quatro vetores próprios linearmente independentes em \mathbb{C}^4. Por construção temos
A = P\,D\,P^{-1}.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável sobre \mathbb{R} (pois possui dois autovalores complexos não reais), mas é diagonalizável sobre \mathbb{C}. Uma escolha de P e D em \mathbb{C}^{4\times4} é
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{-1 + i\sqrt{7}}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{-1 - i\sqrt{7}}{2} \end{pmatrix},\quad P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\dfrac{1+\lambda_3}{3+\lambda_3} & -\dfrac{1+\overline{\lambda_3}}{3+\overline{\lambda_3}}\\[8pt] \frac{5}{3} & 2 & -\dfrac{3+\lambda_3}{3} & -\dfrac{3+\overline{\lambda_3}}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[3pt] 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
onde \displaystyle \lambda_3=\tfrac{-1+i\sqrt7}{2}.]

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