Para cada matriz A abaixo, decida se ela é semelhante a alguma matriz diagonal. Caso seja, encontre uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}. A=\left[\begin{array}{cccc}-3 & 3 & 2 & -1 \\\\ -3 & 5 & 5 & -3 \\\\ -3 & 0 & -1 & 3 \\\\ -5 & 3 & 2 & 1\end{array}\right].
e pede para decidir se ela é semelhante a uma matriz diagonal. O conteúdo aqui é diagonalização: vamos precisar do polinômio característico de A, fatorá-lo para achar os autovalores e depois encontrar vetores próprios que nos dão a matriz P e a diagonal D.
Passo 2
Calculemos o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A - \lambda I). Com expansão por menores ou operações de linha chega‐se a
onde \lambda_3=(-1+i\sqrt7)/2.
4. Para \lambda_4 = \overline{\lambda_3}, basta tomar o conjugado complexo de v_3:
v_4 = \overline{v_3}.]
Passo 5
Formamos então
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\;v_4\bigr],
que é invertível pois os v_j são quatro vetores próprios linearmente independentes em \mathbb{C}^4. Por construção temos
A = P\,D\,P^{-1}.
Resposta
A matriz A não é diagonalizável sobre \mathbb{R} (pois possui dois autovalores complexos não reais), mas é diagonalizável sobre \mathbb{C}. Uma escolha de P e D em \mathbb{C}^{4\times4} é