Seja o conjunto
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
, justificando cada condição necessária.
Passo 1
O conjunto em questão é
Queremos verificar se
é subespaço vetorial de
. Para isso usamos a definição: um subconjunto não-vazio
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo de
pertence a
.
O vetor nulo é . Substituindo na equação de
:
O vetor nulo é
logo
. Assim
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Mostramos fechamento sob adição. Seja
Pelo fato de
temos
Considere
. Então
Logo
satisfaz a equação e
.
Passo 4
Mostramos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
, isto é,
Considere
. Então
Portanto
satisfaz a equação e
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma de vetores e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.