Seja o conjunto W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x-y+z=0\right\}. Verifique se W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}, justificando cada condição necessária.

Passo 1

O conjunto em questão é
W = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x - y + z = 0\bigr\}.
Queremos verificar se W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso usamos a definição: um subconjunto não-vazio W de um espaço vetorial é subespaço se e somente se é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo de \mathbb{R}^3 pertence a W.
O vetor nulo é (0,0,0). Substituindo na equação de W:
2\cdot0 - 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W. Assim W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Mostramos fechamento sob adição. Seja
u = (x_1,y_1,z_1)\in W \quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Pelo fato de u,v\in W temos
2x_1 - y_1 + z_1 = 0 \quad\text{e}\quad 2x_2 - y_2 + z_2 = 0.
Considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Então
2(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = (2x_1 - y_1 + z_1) + (2x_2 - y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0.
Logo u+v satisfaz a equação e u+v\in W.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in W, isto é,
2x - y + z = 0.
Considere \alpha\,u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z). Então
2(\alpha x) - (\alpha y) + (\alpha z) = \alpha\,(2x - y + z) = \alpha\cdot 0 = 0.
Portanto \alpha\,u satisfaz a equação e \alpha\,u\in W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma de vetores e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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