Para cada matriz abaixo:
  • Determine os autovalores.
  • Encontre um autovetor para cada autovalor.
    A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix}
que determinemos os autovalores e, para cada autovalor, um autovetor correspondente.
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores via polinômio característico e resolução de sistemas lineares para achar os autovetores.

Passo 2

Para encontrar os autovalores \lambda, montamos o determinante
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1.
Desenvolvendo,
(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3.
Impondo \det(A-\lambda I)=0 obtemos
\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1 \quad\text{ou}\quad \lambda = 3.]

Passo 3

Para \lambda = 3, resolvemos (A - 3I)v = 0, ou seja,
\begin{pmatrix}2-3 & 1 \\[4pt] 1 & 2-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A única equação independente é -x + y = 0, logo y = x.
Portanto um autovetor associado a \lambda=3 é, por exemplo,
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda = 1, resolvemos (A - I)v = 0, ou seja,
\begin{pmatrix}2-1 & 1 \\[4pt] 1 & 2-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A equação é x + y = 0, logo y = -x.
Assim, um autovetor para \lambda=1 é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são \lambda_1 = 3 e \lambda_2 = 1.
Um autovetor para \lambda_1 = 3 é v_1 = \bigl(1,1\bigr)^T.
Um autovetor para \lambda_2 = 1 é v_2 = \bigl(1,-1\bigr)^T.

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