Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidos por S(x, y)=(2 x, y) e T(x, y)=(x, x-y). Determine:
(a) S+T
(b) 2 S-T
(c) S \circ T

Passo 1

O enunciado define dois operadores lineares em \mathbb{R}^2:
S(x,y) = (2x,\,y), \qquad T(x,y) = (x,\,x - y).
Queremos usar as propriedades de operadores lineares para obter:
  1. a soma (S+T),
  2. o operador 2S - T,
  3. a composição S\circ T.

Passo 2

Para calcular (S+T)(x,y) usamos a definição de soma de operadores lineares:
(S+T)(x,y) = S(x,y) + T(x,y).
Como
S(x,y) = (2x,\,y), \quad T(x,y) = (x,\,x - y),
temos
(S+T)(x,y) = (2x,\,y) + (x,\,x - y) = (2x + x,\;y + (x - y)) = (3x,\;x).

Passo 3

Para obter \bigl(2S - T\bigr)(x,y) usamos linearidade:
(2S - T)(x,y) = 2\,S(x,y) \;-\; T(x,y).
Logo,
2\,S(x,y) = 2\,(2x,\,y) = (4x,\,2y),
T(x,y) = (x,\,x - y),
e
(2S - T)(x,y) = (4x,\,2y) - (x,\,x - y) = (4x - x,\;2y - (x - y)) = (3x,\;3y - x).

Passo 4

Para a composição usamos (S\circ T)(x,y) = S\bigl(T(x,y)\bigr). Primeiro calculamos
T(x,y) = (x,\;x - y),
e então aplicamos S:
S\bigl(x,\;x - y\bigr) = \bigl(2\cdot x,\;x - y\bigr) = (2x,\;x - y).
Portanto,
(S\circ T)(x,y) = (2x,\;x - y).

Resposta

(a) (S+T)(x,y) = (3x,\,x).
(b) (2S - T)(x,y) = (3x,\,3y - x).
(c) (S\circ T)(x,y) = (2x,\,x - y).

Exercícios relacionados