Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z), linear. Considere as bases A=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e B=\{(1,0),(0,1)\}.
(a) Determine [T]_{B}^{A}.
(b) Seja v=(3,-4,2), calcular T(v)_{B} utilizando a matriz encontrada.
Passo 1
O enunciado pede a matriz de representação de T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 nas bases
A=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
e
B=\{(1,0),(0,1)\}
e depois usar essa matriz para calcular as coordenadas de T(v) em B para v=(3,-4,2). Como A e B são as bases canônicas, basta aplicar T a cada vetor de A e usar as imagens como colunas da matriz.
Passo 2
Vamos calcular T dos vetores de A.
Para (1,0,0) temos
Para calcular T(v)_{B} com v=(3,-4,2), multiplicamos [T]_{B}^{A} pelo vetor-coluna de coordenadas de v em A, que é \begin{pmatrix}3\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix}: