Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z), linear. Considere as bases A=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e B=\{(1,0),(0,1)\}.
(a) Determine [T]_{B}^{A}.
(b) Seja v=(3,-4,2), calcular T(v)_{B} utilizando a matriz encontrada.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação de T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 nas bases
A=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
e
B=\{(1,0),(0,1)\}
e depois usar essa matriz para calcular as coordenadas de T(v) em B para v=(3,-4,2). Como A e B são as bases canônicas, basta aplicar T a cada vetor de A e usar as imagens como colunas da matriz.

Passo 2

Vamos calcular T dos vetores de A.
Para (1,0,0) temos
T(1,0,0)=(2\cdot1-0+0,\;3\cdot1+0-2\cdot0)=(2,3).
Para (0,1,0) temos
T(0,1,0)=(2\cdot0-1+0,\;3\cdot0+1-2\cdot0)=(-1,1).
Para (0,0,1) temos
T(0,0,1)=(2\cdot0-0+1,\;3\cdot0+0-2\cdot1)=(1,-2).

Passo 3

Como B é a base canônica de \mathbb R^2, as coordenadas de cada imagem são exatamente os pares acima. Logo a matriz [T]_{B}^{A} é
[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para calcular T(v)_{B} com v=(3,-4,2), multiplicamos [T]_{B}^{A} pelo vetor-coluna de coordenadas de v em A, que é \begin{pmatrix}3\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 + (-1)\cdot(-4) + 1\cdot2\\\\ 3\cdot3 + 1\cdot(-4) + (-2)\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

(a)
[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
(b)
T(v)_{B} = \begin{pmatrix}12\\\ 1\end{pmatrix}.

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