Para cada matriz abaixo, determine: i) os autovalores de A e suas multiplicidades algébricas; ii) os autovetores correspondentes; iii) uma base de cada autoespaço e a multiplicidade geométrica de cada autovalor; iv) se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, exiba uma matriz diagonal D, que é semelhante a A.
a) A=(ll1 & 1 1 & 1).
b) A=(cc1 & 2 0 & -1).
c) A=(ll1 & -4 3 & -7).
d) A=(cc2 & -1 -2 & 3).
e) A=(ccc1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2).
f) A=(lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1).
g) A=(ccc1 & 2 & 2 1 & 2 & -1 -1 & 1 & 4).
h) A=(cccc2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0).

Passo 1

O que precisamos fazer para cada matriz A é:
1. Calcular o polinômio característico det(A-lambda I) e extrair os autovalores lambda com suas multiplicidades algébricas.
2. Para cada autovalor lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para encontrar os autovetores e então determinar uma base do autoespaço e sua multiplicidade geométrica.
3. Verificar se a soma das multiplicidades geométricas é igual à ordem da matriz (ou seja, à soma das multiplicidades algébricas); se sim, A é diagonalizável. Nesse caso, exibir a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal.
A teoria básica usada é a definição de autovalor/autovetor, o cálculo de determinantes para o polinômio característico e a comparação entre multiplicidade algébrica e geométrica para julgar diagonalizabilidade.

Passo 2

a) A=1&11&1.
(i)
det(A-lambda I)=det1-lambda&11&1-lambda =(1-lambda)^2-1=lambda(lambda-2)
Logo lambda1=0, lambda2=2, cada um de multiplicidade algébrica 1.
(ii)
Para lambda=0:
(A-0I)v=0 x+y=0, vetor v=(1,-1).
Para lambda=2:
(A-2I)v=0 -x+y=0, vetor v=(1,1).
(iii) Cada autoespaço é de dimensão 1, com bases (1,-1) e (1,1).
(iv) Soma das geométricas =1+1=2: diagonalizável.
D=0&00&2

Passo 3

b) A=1&20&-1.
(i)
det(A-lambda I)=(1-lambda)(-1-lambda)=lambda^2-1=(lambda-1)(lambda+1).
Alg. mult. 1 para lambda=1 e lambda=-1.
(ii)
lambda=1colon (A-I)v=0Rightarrow y=0, v=(1,0).
lambda=-1colon (A+I)v=0Rightarrow x+y=0, v=(1,-1).
(iii) Cada geometr. =1, bases (1,0),(1,-1).
(iv) Soma geom. =2: diagonalizável.
D=1&00&-1

Passo 4

c) A=1&-43&-7.
(i)
det(A-lambda I)=(1-lambda)(-7-lambda)+12 =lambda^2+6lambda+5=(lambda+1)(lambda+5).
Alg. mult. 1 para lambda=-1 e lambda=-5.
(ii)
lambda=-1colon (A+I)v=0Rightarrow2x-4y=0, v=(2,1).
lambda=-5colon (A+5I)v=0Rightarrow6x-4y=0, v=(2,3).
(iii) Geom. cada uma =1.
(iv) Diagonalizável.
D=-1&00&-5

Passo 5

d) A=2&-1-2&3.
(i)
det(A-lambda I)=(2-lambda)(3-lambda)+2 =lambda^2-5lambda+8, discriminante -7, raízes complexas
lambda=5pm iraiz72, cada uma alg. mult. 1.
(ii) Os autovetores são complexos e distintos.
(iii) Em R não há autoespaços reais não‐triviais.
(iv) Não diagonalizável sobre R (mas é sobre C, com D=diagl(tfrac5+iraiz72,tfrac5-iraiz72r)).

Passo 6

e) A=1&0&2-1&0&11&1&2.
(i)
det(A-lambda I)=-(lambda-3)(lambda-1)(lambda+1).
Então lambda=3,1,-1, cada um alg. mult. 1.
(ii) Resolvendo (A-lambda I)v=0 obtém-se bases dos autoespaços:
lambda=3colon(1,0,1), lambda=1colon(1,-1,0), lambda=-1colon(1,2,-1)
(iii) Cada geom. mult. =1.
(iv) Diagonalizável,
D=diag(3,1,-1)

Passo 7

f) A=1&2&30&1&20&0&1.
(i) Triangular, autovalor único lambda=1 de alg. mult. 3.
(ii) (A-I)v=0Rightarrow z=0, y=0, x livre, base (1,0,0).
(iii) Geom. mult. =1.
(iv) Não diagonalizável (não há 3 autovetores independentes).

Passo 8

g) A=1&2&21&2&-1-1&1&4.
(i)
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda-3)^2, ou seja lambda=1 (alg. mult. 1) e lambda=3 (alg. mult. 2).
(ii)
lambda=1colon base (2,-1,1), geom. mult =1.
lambda=3colon bases (1,1,0),(1,0,1), geom. mult =2.
(iii) Soma geom. =1+2=3.
(iv) Diagonalizável em 3times 3,
D=diag(1,3,3)

Passo 9

h)
A=2&0&1&00&2&0&112&0&3&00&-1&0&0
(i)
det(A-lambda I)=(lambda-6)(lambda+1)(lambda-1)^2.
Autovalores lambda=6,-1 (cada alg. mult. 1) e lambda=1 (alg. mult. 2).
(ii)
lambda=6colon base (1,0,4,0).
lambda=-1colon base (1,0,-3,0).
lambda=1colon base (0,1,0,-1), geom. mult. 1.
(iii) Soma geom. =1+1+1=3 < 4.
(iv) Não diagonalizável (faltam autovetores para lambda=1).

Resposta

a) autovalores 0,2 (cada mult. 1); autoespaços de dim. 1 com bases (1,-1) e (1,1); diagonalizável;
D=0&00&2
b) autovalores 1,-1 (cada mult. 1); bases (1,0), (1,-1); diagonalizável;
D=1&00&-1
c) autovalores -1,-5 (cada mult. 1); bases (2,1), (2,3); diagonalizável;
D=-1&00&-5
d) autovalores 5pm iraiz72 (cada mult. 1); não há diagonalização real.
e) autovalores 3,1,-1 (cada mult. 1); bases (1,0,1),(1,-1,0),(1,2,-1); diagonalizável;
D=diag(3,1,-1)
f) autovalor único 1 (mult. 3); base (1,0,0); não diagonalizável.
g) autovalores 1 (mult. 1), 3 (mult. 2); bases (2,-1,1) e (1,1,0),(1,0,1); diagonalizável;
D=diag(1,3,3)
h) autovalores 6,-1 (cada mult. 1), 1 (mult. 2); bases (1,0,4,0),(1,0,-3,0),(0,1,0,-1); não diagonalizável.

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