Para cada operador linear abaixo, determine: i) os autovalores de T e suas multiplicidades algébricas; ii) os autovetores correspondentes; iii) uma base de cada autoespaço e a multiplicidade geométrica de cada autovalor; iv) se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, escreva a matriz de T, em relação a uma base de autovetores.
a) T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(y, x).
b) T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(x+4 y, 2 x+3 y).
c) T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(3 x+3 y, x+5 y).
d) T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(-3 x+y-z,-7 x+5 y-z,-6 x+6 y-2 z).
e) T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(2 x+y-2 z, 2 x+3 y-4 z, x+y-z).
f) T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(2 x, x+2 y, 2 z).
g) T: R^4 R^4 definido por T(x, y, z, w)=(x, x+y, x+y+z, x+y+z+w).

Passo 1

O enunciado pede, para cada operador linear T dado, que a gente determine:
i) os autovalores de T e suas multiplicidades algébricas;
ii) os autovetores (ou seja, o autoespaço e sua base) e a multiplicidade geométrica de cada autovalor;
iii) se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, escreva a matriz diagonal de T em relação a uma base de autovetores.

Passo 2

(a) . A matriz em base canônica é
O polinômio característico é
logo os autovalores são e , cada um com multiplicidade algébrica .
Para , , isto é, autoespaço de dimensão geométrica , base .
Para , , isto é, , dimensão geométrica , base .
Como , é diagonalizável e, na base , a matriz de é

Passo 3

(b) T(x,y)=(x+4y,;2x+3y). A matriz é
M=1&42&3
det(M-lambda I)=lambda^2-4lambda-5=(lambda-5)(lambda+1), logo autovalores lambda=5 e lambda=-1, cada um com multiplicidade algébrica 1.
Para lambda=5: (M-5I)(x,y)=(-4x+4y,,2x-2y)=0implies y=x, base de E5: (1,1).
Para lambda=-1: (M+I)(x,y)=(2x+4y,,2x+4y)=0implies y=-tfrac12x, base de E-1: (2,-1).
Como as dimensões somam 2, T é diagonalizável e, nessa base de autovetores, a matriz é
5&00&-1

Passo 4

(c) T(x,y)=(3x+3y,;x+5y). A matriz é
M=3&31&5,
e
det(M-lambda I)=lambda^2-8lambda+12=(lambda-2)(lambda-6)
Autovalores lambda=2 e lambda=6, cada um com multiplicidade algébrica 1.
Para lambda=2: (M-2I)(x,y)=(x+3y,,x+3y)=0implies y=-tfrac13x, base (3,-1).
Para lambda=6: (M-6I)(x,y)=(-3x+3y,,x- y)=0implies y=x, base (1,1).
Soma das dimensões =2, logo diagonalizável com matriz
2&00&6

Passo 5

(d) . Em base canônica,
Calcula-se
Autovalores: (mult. alg. 1) e (mult. alg. 2).
Para : , base .
Para : , base .
Como , não é diagonalizável sobre .

Passo 6

(e) T(x,y,z)=(2x+y-2z,;2x+3y-4z,;x+y-z). A matriz é
A=2&1&-22&3&-41&1&-1,
chi(lambda)=lambda^3-4lambda^2+5lambda-2=(lambda-1)^2(lambda-2)
Autovalores: lambda=1 (mult. alg. 2), lambda=2 (mult. alg. 1).
Para lambda=1: dim E1=2, base por exemplo (1,-1,0),(0,2,1).
Para lambda=2: dim E2=1, base (1,2,1).
Como 2+1=3, é diagonalizável e, na base (1,-1,0),(0,2,1),(1,2,1),
diag(1,1,2)

Passo 7

(f) T(x,y,z)=(2x,;x+2y,;2z). A matriz triangular é
A=2&0&01&2&00&0&2,
autovalor único lambda=2 com multiplicidade algébrica 3.
dimker(A-2I)=2 (condição x=0, y,z livres), base (0,1,0),(0,0,1).
Como 2<3, não é diagonalizável.

Passo 8

(g) T(x,y,z,w)=(x,;x+y,;x+y+z,;x+y+z+w). A matriz é
A= 1&0&0&01&1&0&01&1&1&01&1&1&1 ,
autovalor único lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.
dimker(A-I)=1 (é preciso x=y=z=0, w livre), base (0,0,0,1).
Como 1<4, não é diagonalizável.

Resposta

(a) Autovalores , ambos mult. alg.=1; , , geom.mult. cada; diagonalizável com matriz .
(b) Autovalores , ambos mult. alg.=1; , , geom.mult. cada; diagonalizável com matriz .
(c) Autovalores , ambos mult. alg.=1; , , geom.mult. cada; diagonalizável com matriz .
(d) Autovalores com mult. alg. ; , , geom.mult. ; não diagonalizável.
(e) Autovalores mult. alg. ; , , geom.mult. ; diagonalizável com matriz .
(f) Autovalor mult. alg.=3; , geom.mult.=2; não diagonalizável.
(g) Autovalor mult. alg.=4; , geom.mult.=1; não diagonalizável.

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