Para cada operador linear abaixo, determine: i) os autovalores de e suas multiplicidades algébricas; ii) os autovetores correspondentes; iii) uma base de cada autoespaço e a multiplicidade geométrica de cada autovalor; iv) se é diagonalizável e, em caso afirmativo, escreva a matriz de , em relação a uma base de autovetores.
a) definido por .
b) definido por .
c) definido por .
d) definido por .
e) definido por .
f) definido por .
g) definido por .
Passo 1
O enunciado pede, para cada operador linear dado, que a gente determine:
i) os autovalores de e suas multiplicidades algébricas;
ii) os autovetores (ou seja, o autoespaço e sua base) e a multiplicidade geométrica de cada autovalor;
iii) se é diagonalizável e, em caso afirmativo, escreva a matriz diagonal de em relação a uma base de autovetores.
Passo 2
(a) . A matriz em base canônica é
O polinômio característico é
logo os autovalores são e , cada um com multiplicidade algébrica .
Para , dá , isto é, autoespaço de dimensão geométrica , base .
Para , dá , isto é, , dimensão geométrica , base .
Como , é diagonalizável e, na base , a matriz de é
Passo 3
(b) . A matriz é
, logo autovalores e , cada um com multiplicidade algébrica .
Para : , base de :.
Para : , base de :.
Como as dimensões somam , é diagonalizável e, nessa base de autovetores, a matriz é
Passo 4
(c) . A matriz é
e
Autovalores e , cada um com multiplicidade algébrica .
Para : , base .
Para : , base .
Soma das dimensões , logo diagonalizável com matriz
Passo 5
(d) . Em base canônica,
Calcula-se
Autovalores: (mult. alg. 1) e (mult. alg. 2).
Para : , base .
Para : , base .
Como , não é diagonalizável sobre .
Passo 6
(e) T(x,y,z)=(2x+y-2z,;2x+3y-4z,;x+y-z). A matriz é
Autovalores: lambda=1 (mult. alg. 2), lambda=2 (mult. alg. 1).
Para lambda=1: dim E1=2, base por exemplo (1,-1,0),(0,2,1).
Para lambda=2: dim E2=1, base (1,2,1).
Como 2+1=3, é diagonalizável e, na base (1,-1,0),(0,2,1),(1,2,1),
diag(1,1,2)
Passo 7
(f) T(x,y,z)=(2x,;x+2y,;2z). A matriz triangular é
A=2&0&01&2&00&0&2,
autovalor único lambda=2 com multiplicidade algébrica 3. dimker(A-2I)=2 (condição x=0, y,z livres), base (0,1,0),(0,0,1).
Como 2<3, não é diagonalizável.
Passo 8
(g) T(x,y,z,w)=(x,;x+y,;x+y+z,;x+y+z+w). A matriz é
A= 1&0&0&01&1&0&01&1&1&01&1&1&1 ,
autovalor único lambda=1 com multiplicidade algébrica 4. dimker(A-I)=1 (é preciso x=y=z=0, w livre), base (0,0,0,1).
Como 1<4, não é diagonalizável.
Resposta
(a) Autovalores , ambos mult. alg.=1; , , geom.mult. cada; diagonalizável com matriz .
(b) Autovalores , ambos mult. alg.=1; , , geom.mult. cada; diagonalizável com matriz .
(c) Autovalores , ambos mult. alg.=1; , , geom.mult. cada; diagonalizável com matriz .
(d) Autovalores com mult. alg.; , , geom.mult.; não diagonalizável.
(e) Autovalores mult. alg.; , , geom.mult.; diagonalizável com matriz .
(f) Autovalor mult. alg.=3; , geom.mult.=2; não diagonalizável.
(g) Autovalor mult. alg.=4; , geom.mult.=1; não diagonalizável.