Determine quais operadores lineares a seguir são diagonalizáveis.
T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(y,-x).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y) = (y,,-x)
O conteúdo aqui é diagonalização de operadores reais: precisamos achar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, encontrar os autovalores e verificar se existe uma base real de autovetores.

Passo 2

Na base canônica e1=(1,0),e2=(0,1) temos
T(e1) = T(1,0) = (0,-1), T(e2) = T(0,1) = (1,0)
Logo a matriz de T é
A = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det-lambda & 1 -1 & -lambda = lambda^2 + 1

Passo 4

Resolvendo
lambda^2 + 1 = 0
obtém-se lambda = pm i, que não são números reais. Portanto não existem autovalores (nem autovetores) em R^2, de modo que não é possível formar uma base real de autovetores.

Resposta

T não é diagonalizável sobre R.

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