Determine quais operadores lineares a seguir são diagonalizáveis.
T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(5 x-2 y, x+3 y).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T: R^2 to R^2 definido por
T(x,y) = (5x - 2y,; x + 3y)
O conteúdo é teste de diagonalizabilidade: para isso precisamos achar a matriz de T na base canônica, encontrar o polinômio característico, seus autovalores e verificar se há uma base de autovetores em R^2.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,
T(e1)=T(1,0)=(5,1), T(e2)=T(0,1)=(-2,3),
logo a matriz de T é
A = 5 & -2 1 & 3

Passo 3

O polinômio característico de A é
chiA(lambda) =detl(A - lambda Ir) =det5-lambda & -21 & 3-lambda =(5-lambda)(3-lambda)-(-2)cdot1 =lambda^2 -8lambda +17

Passo 4

O discriminante de chiA é
De<a = (-8)^2 -4cdot1cdot17 =64 -68 = -4 <0
Como não há raízes reais de chiA, não existem autovalores em R nem autovetores reais suficientes para formar base. Logo T não é diagonalizável sobre R.

Passo 5

Se estendêssemos o escalar a C, então as raízes são
lambda = 8pmraiz-42 = 4pm i,
que são distintas e garantem dois autovetores linearmente independentes em C^2. Assim T é diagonalizável sobre C.

Resposta

O operador T não é diagonalizável em R^2, mas é diagonalizável em C^2.

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