Determine quais operadores lineares a seguir são diagonalizáveis. definido por .
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
T: definido por
O conteúdo é teste de diagonalizabilidade: para isso precisamos achar a matriz de na base canônica, encontrar o polinômio característico, seus autovalores e verificar se há uma base de autovetores em .
Como não há raízes reais de chiA, não existem autovalores em R nem autovetores reais suficientes para formar base. Logo T não é diagonalizável sobre R.
Passo 5
Se estendêssemos o escalar a C, então as raízes são
lambda = 8pmraiz-42 = 4pm i,
que são distintas e garantem dois autovetores linearmente independentes em C^2. Assim T é diagonalizável sobre C.
Resposta
O operador T não é diagonalizável em R^2, mas é diagonalizável em C^2.