Considerando a matriz A=(ll0 & 2 1 & 1), determine os autovalores das matrizes A e A^-1, e os correspondentes autovetores.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = 0 & 2 1 & 1
e também os da sua inversa A^-1. Para isso vamos:
1. Construir o polinômio característico det(A-lambda I)=0 e achar as raízes lambda.
2. Para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para obter os autovetores v.
3. Usar o fato de que os autovalores de A^-1 são os inversos dos de A e que os autovetores coincidem.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico. Primeiro
A - lambda I = -lambda & 2 [6pt]1 & 1-lambda
Então
det(A-lambda I) = (-lambda)(1-lambda) - 2cdot1 = -lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - lambda - 2
Igualando a zero,
lambda^2 - lambda - 2 = 0 ]

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática,
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
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lambda1 = 2, lambda2 = -1

Passo 4

Agora achamos os autovetores.
Para ,
e
Um autovetor correspondente é
Para ,
e
Um autovetor correspondente é
]

Passo 5

O determinante de A é
det A = 0cdot1 - 2cdot1 = -2,
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A^-1 = 1det A,adj(A) = -tfrac121 & -2 -1 & 0 = -tfrac12 & 1 [3pt]tfrac12 & 0
Pela teoria, os autovalores de A^-1 são os recíprocos de lambda1 e lambda2, e os autovetores são os mesmos:
autovalores de A^-1: 1lambda1 = tfrac12, 1lambda2 = -1,
com os mesmo v1 e v2.
]

Resposta

Autovalores e autovetores de A:
lambda1 = 2, v1 = 11.
lambda2 = -1, v2 = -21.
Autovalores e autovetores de A^-1:
lambda1' = tfrac12, v1 = 11.
lambda2' = -1, v2 = -21.

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