Existem 16 matrizes 2 times 2 com entradas contendo apenas 0 ou 1 . Determine quais delas são invertíveis.

Passo 1

O enunciado quer que a gente liste, dentre as 16 matrizes de ordem 2 com entradas em 0,1, quais são invertíveis. O conteúdo usado é a definição de invertibilidade via determinante: uma matriz 2times2 é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Para uma matriz genérica
A=a & b c & d,
com a,b,c,din0,1, o determinante é dado por
det(A)=ad - bc

Passo 3

Como a,b,c,d só podem ser 0 ou 1, os produtos ad e bc também só valem 0 ou 1. Para ter det(A)neq0 precisamos de
ad - bc = pm1
Isto ocorre em dois casos:
  1. ad=1 e bc=0, o que dá det(A)=+1.
  2. ad=0 e bc=1, o que dá det(A)=-1.

Passo 4

Caso ad=1 e bc=0: isso obriga a=d=1 e impede b=c=1. As possibilidades são
1 & 0 0 & 1, 1 & 0 1 & 1, 1 & 1 0 & 1

Passo 5

Caso ad=0 e bc=1: isso obriga b=c=1 e impede a=d=1. As possibilidades são
0 & 1 1 & 0, 1 & 1 1 & 0, 0 & 1 1 & 1

Resposta

As seis matrizes invertíveis são:
1 & 0 0 & 1, 1 & 0 1 & 1, 1 & 1 0 & 1,
0 & 1 1 & 0, 1 & 1 1 & 0, 0 & 1 1 & 1

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