Seja T: R^2 R^2 linear. Suponha que (T)B=(cc2 & -4 1 & 3) e MB can=(cc15 & -15 25 & 35). Calcule A in R^2 times 2 tal que T(v)=A v.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma aplicação linear
TcolonR^2toR^2
cuja matriz em relação à base B é
[T]B = 2 & -4 [6pt] 1 & 3
e que a matriz que leva coordenadas em B para as coordenadas canônicas é
MBtocan =tfrac15 & -tfrac15 [4pt]tfrac25 & tfrac35
Queremos achar a matriz A no sistema de coordenadas canônicas tal que
T(vec v) ;=; A,vec v
Para isso, usamos a fórmula de mudança de base
A ;=; MBtocan;[T]B;(MBtocan)^-1 ]

Passo 2

Calcular (MBtocan)^-1. Seja
P = MBtocan =tfrac15 & -tfrac15 [4pt]tfrac25 & tfrac35
O determinante de P é
det P = tfrac15cdottfrac35 ;-; l(-tfrac15r)cdottfrac25 = tfrac325 + tfrac225 = tfrac525 = tfrac15
Logo,
P^-1 =1det P tfrac35 & tfrac15 [4pt]-tfrac25 & tfrac15 =5tfrac35 & tfrac15 [4pt]-tfrac25 & tfrac15 =3 & 1 [4pt]-2 & 1 ]

Passo 3

Agora calculamos
A = P,[T]B,P^-1
Primeiro P,[T]B:
P,[T]B =tfrac15 & -tfrac15 [4pt]tfrac25 & tfrac35 2 & -4 [4pt]1 & 3 = tfrac25-tfrac15 & -tfrac45-tfrac35 [6pt] tfrac45+tfrac35 & -tfrac85+tfrac95 =tfrac15 & -tfrac75 [4pt]tfrac75 & tfrac15
Em seguida multiplicamos por P^-1:
A =tfrac15 & -tfrac75 [4pt]tfrac75 & tfrac15 3 & 1 [4pt]-2 & 1 = tfrac15cdot3 + l(-tfrac75r)cdot(-2) & tfrac15cdot1 + l(-tfrac75r)cdot1 [6pt] tfrac75cdot3 + tfrac15cdot(-2) & tfrac75cdot1 + tfrac15cdot1 =tfrac175 & -tfrac65 [4pt]tfrac195 & tfrac85 ]

Resposta

A = tfrac175 & -tfrac65 [4pt]tfrac195 & tfrac85 ]

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