Para cada matriz A abaixo, sendo p o seu posto, faça operações elementares nas suas linhas para escrevê-la como um produto A=X C, onde X tem p colunas e C tem p linhas.
(a) A=[cccc2 & -2 & 0 & 4 3 & -1 & 1 & 5 1 & -1 & 0 & 2 2 & 4 & 3 & 1]

Passo 1

O enunciado pede fatorar a matriz
A = 2 & -2 & 0 & 4 3 & -1 & 1 & 5 1 & -1 & 0 & 2 2 & 4 & 3 & 1
como
A = X,C,
onde p é o posto de A, X tem p colunas e C tem p linhas. Vamos primeiro determinar o posto por eliminação de Gauss, depois escolher p colunas-pivô para formar X e finalmente expressar todas as colunas de A nessa base para obter C.

Passo 2

Aplicamos operações elementares nas linhas de A:
R2 &to R2 - tfrac32,R1, R3 &to R3 - tfrac12,R1, R4 &to R4 - 1cdot R1,
obtendo
2 & -2 & 0 & 4 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 6 & 3 & -3
Em seguida
R4 to R4 - 3,R2
leva a
REF(A)= 2 & -2 & 0 & 4 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Da forma escalonada vemos que o posto é p=2.

Passo 3

As colunas-pivô de A são a 1ª e a 2ª. Definimos a matriz Xin R^4times2 formada por essas colunas:
X = l[Aast1,,Aast2r] = 2 & -2 3 & -1 1 & -1 2 & 4

Passo 4

Para obter Cin R^2times4, expressamos cada coluna de A como combinação linear das colunas de X:
– Coluna 1: 2312 =1cdot Xast1+0cdot Xast2
– Coluna 2: -2-1-14 =0cdot Xast1+1cdot Xast2
– Coluna 3: 0103 =tfrac12,Xast1+tfrac12,Xast2
– Coluna 4: 4521 =tfrac32,Xast1-tfrac12,Xast2
Logo
C = 1 & 0 & tfrac12 & tfrac32 0 & 1 & tfrac12 & -tfrac12

Resposta

O posto é p=2.
X = 2 & -2 3 & -1 1 & -1 2 & 4 , C = 1 & 0 & tfrac12 & tfrac32 0 & 1 & tfrac12 & -tfrac12 ,
e verifica-se que A = X,C.

Exercícios relacionados