Considere as matrizes
A=[ccccc 2 & 5 & -1 & 3 & 1 0 & 3 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 7 & 2 * & * & * & * & * * & * & * & * & * ], B=[ccccc 2 & 5 & -1 & 3 & 1 0 & 3 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 7 & 2 0 & 0 & * & * & * 0 & 0 & * & * & * 0 & 0 & * & * & * ]
(a) Mostre que posto(A) >= 3. Também, mostre que vale a igualdade posto(A)=3 se, e somente se, as linhas L4 e L5 de A forem combinações lineares das linhas L1, L2 e L3.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 2 & 5 & -1 & 3 & 1 0 & 3 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 7 & 2 * & * & * & * & * * & * & * & * & *
e pede (i) mostrar que posto(A)>=3 e (ii) demonstrar que posto(A)=3 se, e somente se, as linhas L4 e L5 de A forem combinações lineares de L1,L2,L3. O conteúdo utilizado será definição de posto via menores e propriedades de dependência linear de linhas.

Passo 2

Para mostrar posto(A)>=3 basta exibir um menor 3times3 não nulo. Considere o menor principal formado pelas três primeiras linhas e colunas:
det 2 & 5 & -1 0 & 3 & 1 0 & 0 & 1 =2cdot3cdot1=6neq0
Logo existe um menor de ordem 3 não nulo, e por definição posto(A)>=3.

Passo 3

Suponha agora que posto(A)=3. Então a dimensão do espaço gerado pelas linhas de A é 3. Como L1,L2,L3 são linearmente independentes (pois geram o menor não nulo de ordem 3), qualquer outra linha de A, em particular L4 e L5, deve pertencer ao span de L1,L2,L3. Portanto L4 e L5 são combinações lineares de L1,L2,L3.

Passo 4

Reciprocamente, se L4 e L5 forem combinações lineares de L1,L2,L3, então o espaço gerado pelas cinco linhas de A coincide com o espaço gerado por L1,L2,L3. Como essas três são independentes, a dimensão do espaço de linhas é 3, ou seja, posto(A)=3.

Resposta

Mostramos que
posto(A)>=3
porque existe menor 3times3 não nulo, e que
posto(A)=3 Long<=ftrightarrow L4,L5inspanL1,L2,L3

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