Para cada matriz abaixo, sendo o seu posto, faça operações elementares nas suas linhas para escrevê-la como um produto , onde tem colunas e tem linhas.
(b)
Passo 1
Temos a matriz
e queremos a sua fatoração de posto, ou seja, escrever
onde , é formado por colunas independentes de e é cujas colunas indicam como expressar cada coluna de em função das colunas de . Vamos precisar achar o posto de , escolher as colunas-pivô e representar as demais como combinações lineares dessas colunas-pivô.
Passo 2
Calculemos o posto de por eliminação de linhas. Trocando a linha 1 com a 2 e eliminando, obtemos forma escalonada com apenas duas linhas não nulas, logo
Passo 3
Os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2. Logo as colunas 1 e 2 de A são independentes e formam uma base para o espaço coluna de A. Definimos
Agora expressamos as colunas 3 e 4 de A como combinação das colunas de X. Seja (a,b) tal que
a,-4123 + b,-2143 = -10-10
Das equações da segunda linha a+b=0 vem a=-b. Da primeira -4a-2b=-1 resulta 2b=-1, logo b=-tfrac12 e a=tfrac12. Analogamente, para a quarta coluna de A, resolvendo
a,-4123 + b,-2143 = -5276
vem a=tfrac12, b=tfrac32.
Passo 5
Reunindo os coeficientes, obtemos a matriz C de tamanho 2times4, cujas colunas são binom10, binom01, binomtfrac12-tfrac12 e binomtfrac12tfrac32. Assim