Para cada matriz A abaixo, sendo p o seu posto, faça operações elementares nas suas linhas para escrevê-la como um produto A=X C, onde X tem p colunas e C tem p linhas.
(b) A=[cccc-4 & -2 & -1 & -5 1 & 1 & 0 & 2 2 & 4 & -1 & 7 3 & 3 & 0 & 6]

Passo 1

Temos a matriz
e queremos a sua fatoração de posto, ou seja, escrever
onde , é formado por colunas independentes de e é cujas colunas indicam como expressar cada coluna de em função das colunas de . Vamos precisar achar o posto de , escolher as colunas-pivô e representar as demais como combinações lineares dessas colunas-pivô.

Passo 2

Calculemos o posto de por eliminação de linhas. Trocando a linha 1 com a 2 e eliminando, obtemos forma escalonada com apenas duas linhas não nulas, logo

Passo 3

Os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2. Logo as colunas 1 e 2 de A são independentes e formam uma base para o espaço coluna de A. Definimos
X = l[A(:,1),,A(:,2)r] = -4 & -2 1 & 1 2 & 4 3 & 3 ,
que é uma matriz 4times2.

Passo 4

Agora expressamos as colunas 3 e 4 de A como combinação das colunas de X. Seja (a,b) tal que
a,-4123 + b,-2143 = -10-10
Das equações da segunda linha a+b=0 vem a=-b. Da primeira -4a-2b=-1 resulta 2b=-1, logo b=-tfrac12 e a=tfrac12. Analogamente, para a quarta coluna de A, resolvendo
a,-4123 + b,-2143 = -5276
vem a=tfrac12, b=tfrac32.

Passo 5

Reunindo os coeficientes, obtemos a matriz C de tamanho 2times4, cujas colunas são binom10, binom01, binomtfrac12-tfrac12 e binomtfrac12tfrac32. Assim
C = 1 & 0 & tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & -tfrac12 & tfrac32

Resposta

X = -4 & -2 1 & 1 2 & 4 3 & 3 , C = 1 & 0 & tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & -tfrac12 & tfrac32 , A = X,C

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