Para cada matriz dada a seguir, encontre uma matriz na forma em escada, à qual a matriz dada é linha-equivalente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e formas de escada. A tarefa é transformar a matriz dada em uma forma de escada, mantendo as linhas equivalentes. Para isso, vamos precisar usar operações elementares nas linhas da matriz, que são ferramentas que nos permitem manipular as linhas para alcançar a forma desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos transformar:
Passo 3
O objetivo é obter zeros abaixo dos pivôs (que são os primeiros números não nulos de cada linha). Começamos pelo primeiro pivô, que está na posição (1,1) e é o número 2. Queremos que abaixo desse pivô, na posição (2,1), o número seja 0.
Passo 4
Para conseguir isso, vamos eliminar o 1 que está na posição (2,1). Para isso, podemos substituir a segunda linha por ela mesma menos metade da primeira linha. A operação fica assim:
Linha 2 = Linha 2 - (1/2) * Linha 1
Vamos fazer essa conta:
Então, a nova segunda linha fica:
Passo 5
Agora, a matriz está assim:
O próximo passo é trabalhar com o segundo pivô, que está na posição (2,2), que é -3.5. Queremos que esse pivô seja 1 para facilitar a visualização, então vamos dividir toda a segunda linha por -3.5.
Passo 6
Dividindo a segunda linha por -3.5:
Então, a segunda linha fica:
Passo 7
Agora, nossa matriz está na forma:
Mas ainda queremos que os elementos acima dos pivôs também sejam zeros para deixar a forma mais simplificada. Vamos zero o elemento na posição (1,2), que é 1.
Passo 8
Para eliminar o 1 na posição (1,2), vamos substituir a primeira linha por ela mesma menos a segunda linha:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2
Fazendo a conta:
Então, a primeira linha fica:
Passo 9
A matriz agora está assim:
Podemos simplificar ainda mais dividindo a primeira linha por 2 para que o pivô na posição (1,1) seja 1.
Passo 10
Dividindo a primeira linha por 2:
A primeira linha fica:
Resposta
A matriz na forma em escada equivalente é: