Para cada uma das matrizes abaixo calcule, se possível, suas inversas.
[llll2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz 4times4. Vamos usar o método de eliminação de Gauss–Jordan, que consite em montar a matriz aumentada l[Amid Ir], fazer pivoteamentos para transformar A na identidade e, ao mesmo tempo, obter A^-1 na parte que era I.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e normalizamos a primeira linha para ter pivô 1 na coluna 1, eliminando abaixo e acima:
[cccc|cccc 2 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrowR1!!div2; [cccc|cccc 1 & tfrac12 & tfrac32 & tfrac12 & tfrac12 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrowR2to R2-R1 ;xrightarrowsubstackR3,R4 já têm 0 em col 1 ;l R2=[0,-tfrac12,-tfrac12,tfrac12mid -tfrac12,1,0,0] áê
Para a coluna 2, trocamos R2rightarrow R3, normalizamos e eliminamos nas outras linhas:
R2rightarrow R3, R2!!div2, R1!to R1-tfrac12,R2, R3!to R3+tfrac12,R2, R4!to R4-R2
O resultado parcial é
l R1=[1,0,tfrac54,tfrac12mid tfrac12,0,-tfrac14,0], R2=[0,1,tfrac12,0mid 0,0,tfrac12,0], R3=[0,0,-tfrac14,tfrac12mid -tfrac12,1,tfrac14,0], R4=[0,0,tfrac12,3mid 0,0,-tfrac12,1]

Passo 3

Na coluna 3, normalizamos R3 (pivô -tfrac14) e zeramos nas demais:
R3!divl(-tfrac14r), R1!to R1-tfrac54,R3, R2!to R2-tfrac12,R3, R4!to R4-tfrac12,R3
Fica
l R1=[1,0,0,3mid -2,5,1,0], R2=[0,1,0,1mid -1,2,1,0], R3=[0,0,1,-2mid 2,-4,-1,0], R4=[0,0,0,4mid -1,2,0,1]

Passo 4

Por fim, pivô na coluna 4 com
Obtemos
A parte direita final é exatamente (A^{-1}].

Resposta

A^-1 = -tfrac54 & tfrac72 & 1 & -tfrac34 -tfrac34 & tfrac32 & 1 & -tfrac14 tfrac32 & -3 & -1 & tfrac12 -tfrac14 & tfrac12 & 0 & tfrac14

Exercícios relacionados