Determine uma equação e esboce o gráfico da elipse que satisfaz as condições dadas.
(a) focos
e
, eixo maior medindo 10 ;
(b) focos
e
, eixo menor medindo 10;
(c) focos
e
, vértices
;
(d) focos
e
, excentricidade
;
(e) vértices
, passa por
;
(f) centro
, focos no eixo
, passa por
.
(a) focos
(b) focos
(c) focos
(d) focos
(e) vértices
(f) centro
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a equação e esboçar o gráfico de diferentes elipses com várias condições específicas. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, mais especificamente sobre elipses. Vamos precisar entender o que são focos, eixos maior e menor, vértices, excentricidade e como uma elipse pode passar por um ponto específico. Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Focos
e
, eixo maior medindo 10
Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
- Focos na horizontal em
e . - O comprimento do eixo maior é 10.
Teoria Aplicada:
Para uma elipse, a distância entre os dois focos é , e o comprimento do eixo maior é
.
Para uma elipse, a distância entre os dois focos é
Passo a Passo:
- Identificar
: -
distância entre os focos (de -4 a 4). - Então,
.
-
- Identificar
: -
(eixo maior). - Então,
.
-
- Encontrar
usando a relação : -
- Escrever a equação da elipse com centro na origem e eixo maior no eixo x:
-
- Substituindo
e : -
-
Resposta:
A equação da elipse é . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 10 unidades ao longo do eixo x e eixo menor de 6 unidades ao longo do eixo y.
A equação da elipse é
Passo 3
Parte (b): Focos
e
, eixo menor medindo 10
Vamos analisar:
- Focos na vertical em
e . - O comprimento do eixo menor é 10.
Teoria Aplicada:
Para elipses com eixo menor vertical, é o comprimento do eixo menor, e a distância entre os focos
.
Para elipses com eixo menor vertical,
Passo a Passo:
- Identificar
: -
distância entre os focos . - Então,
.
-
- Identificar
: -
. - Então,
.
-
- Encontrar
usando : -
- Escrever a equação da elipse com centro na origem e eixo menor no eixo y:
-
- Substituindo
e : -
-
Resposta:
A equação da elipse é . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo menor de 10 unidades ao longo do eixo y e eixo maior de aproximadamente 14,14 unidades ao longo do eixo x.
A equação da elipse é
Passo 4
Parte (c): Focos
e
, vértices
,
Aqui:
- Focos em
e . - Vértices em
e .
Teoria Aplicada:
Vértices são os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior, e a distância é a distância do centro aos vértices.
Vértices são os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior, e a distância
Passo a Passo:
- Identificar
: - Vértices estão a 4 unidades do centro
. - Então,
.
- Vértices estão a 4 unidades do centro
- Identificar
: - Focos estão a 3 unidades do centro.
- Então,
.
- Encontrar
usando : -
- Escrever a equação da elipse com eixo maior no eixo x:
-
- Substituindo
e : -
-
Resposta:
A equação da elipse é . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 8 unidades ao longo do eixo x e eixo menor de aproximadamente 5,29 unidades ao longo do eixo y.
A equação da elipse é
Passo 5
Parte (d): Focos
e
, excentricidade
Aqui temos:
- Focos na vertical em
e . - Excentricidade
.
Teoria Aplicada:
Excentricidade , onde
é a distância do centro aos focos e
é a distância do centro aos vértices.
Excentricidade
Passo a Passo:
- Identificar
: - Focos a 3 unidades do centro.
- Então,
.
- Usar a excentricidade para achar
: -
- Encontrar
usando : -
- Escrever a equação da elipse com eixo maior no eixo y:
-
- Substituindo
e : -
-
Resposta:
A equação da elipse é . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de
unidades ao longo do eixo y e eixo menor de
unidades ao longo do eixo x.
A equação da elipse é
Passo 6
Parte (e): Vértices
,
, passa por
Dados:
- Vértices na vertical em
e . - A elipse passa pelo o ponto
.
Teoria Aplicada:
Com vértices verticais, o eixo maior está no eixo y. A equação geral será , e sabemos que
(distância dos vértices do centro).
Com vértices verticais, o eixo maior está no eixo y. A equação geral será
Passo a Passo:
- Identificar
: - Vértices a 6 unidades do centro.
- Então,
.
- Usar o ponto
para encontrar : - Substituir na equação:
-
-
-
-
-
- Substituir na equação:
- Escrever a equação da elipse:
-
- Simplificando:
-
Resposta:
A equação da elipse é . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 12 unidades ao longo do eixo y e eixo menor de aproximadamente
unidades ao longo do eixo x, passando pelo ponto
.
A equação da elipse é
Passo 7
Parte (f): Centro
, focos no eixo dos
, excentricidade
, passa por
Dados:
- Centro na origem.
- Focos no eixo x.
- Excentricidade
. - A elipse passa pelo
.
Teoria Aplicada:
Para elipses com eixo maior no eixo x, a equação é , com
e
.
Para elipses com eixo maior no eixo x, a equação é
Passo a Passo:
- Relacionar
com e : -
-
- Então,
-
- Usar
: -
- Usar o ponto
na equação da elipse: -
- Encontrar
: -
- Escrever a equação da elipse:
-
Resposta:
A equação da elipse é . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 6 unidades ao longo do eixo x e eixo menor de aproximadamente 4,47 unidades ao longo do eixo y, passando pelo ponto
.
A equação da elipse é
Resposta
Conforme detalhado acima, cada parte (a) a (f) foi resolvida com suas respectivas equações e descrições dos gráficos das elipses.