Determine uma equação e esboce o gráfico da elipse que satisfaz as condições dadas.
(a) focos F1=(-4,0) e F2=(4,0), eixo maior medindo 10 ;
(b) focos F1=(0,-5) e F2=(0,5), eixo menor medindo 10;
(c) focos F1=(-3,0) e F2=(3,0), vértices A1=(-4,0), A2=(4,0);
(d) focos F1=(0,-3) e F2=(0,3), excentricidade raiz32;
(e) vértices A1=(0,-6), A2=(0,6), passa por P=(3,2);
(f) centro C=(0,0), focos no eixo dos x, e=23, passa por P=(2,-53).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a equação e esboçar o gráfico de diferentes elipses com várias condições específicas. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, mais especificamente sobre elipses. Vamos precisar entender o que são focos, eixos maior e menor, vértices, excentricidade e como uma elipse pode passar por um ponto específico. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Focos F1=(-4,0) e F2=(4,0) , eixo maior medindo 10

Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
  • Focos na horizontal em (-4,0) e (4,0) .
  • O comprimento do eixo maior é 10.
Teoria Aplicada:
Para uma elipse, a distância entre os dois focos é 2c , e o comprimento do eixo maior é 2a .
Passo a Passo:
  1. Identificar c :
    • 2c = distância entre os focos = 8 (de -4 a 4).
    • Então, c = 4 .
  2. Identificar a :
    • 2a = 10 (eixo maior).
    • Então, a = 5 .
  3. Encontrar b usando a relação c^2 = a^2 - b^2 :
    • 4^2 = 5^2 - b^2
    • 16 = 25 - b^2
    • b^2 = 25 - 16 = 9
    • b = 3
  4. Escrever a equação da elipse com centro na origem e eixo maior no eixo x:
    • x^2a^2 + y^2b^2 = 1
    • Substituindo a = 5 e b = 3 :
    • x^225 + y^29 = 1
Resposta:
A equação da elipse é x^225 + y^29 = 1 . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 10 unidades ao longo do eixo x e eixo menor de 6 unidades ao longo do eixo y.

Passo 3

Parte (b): Focos F1=(0,-5) e F2=(0,5) , eixo menor medindo 10

Vamos analisar:
  • Focos na vertical em (0,-5) e (0,5) .
  • O comprimento do eixo menor é 10.
Teoria Aplicada:
Para elipses com eixo menor vertical, 2b é o comprimento do eixo menor, e a distância entre os focos 2c .
Passo a Passo:
  1. Identificar c :
    • 2c = distância entre os focos = 10 .
    • Então, c = 5 .
  2. Identificar b :
    • 2b = 10 .
    • Então, b = 5 .
  3. Encontrar a usando c^2 = a^2 - b^2 :
    • 5^2 = a^2 - 5^2
    • 25 = a^2 - 25
    • a^2 = 50
    • a = raiz50 = 5raiz2
  4. Escrever a equação da elipse com centro na origem e eixo menor no eixo y:
    • x^2b^2 + y^2a^2 = 1
    • Substituindo b = 5 e a = 5raiz2 :
    • x^225 + y^250 = 1
Resposta:
A equação da elipse é x^225 + y^250 = 1 . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo menor de 10 unidades ao longo do eixo y e eixo maior de aproximadamente 14,14 unidades ao longo do eixo x.

Passo 4

Parte (c): Focos F1=(-3,0) e F2=(3,0) , vértices A1=(-4,0) , A2=(4,0)

Aqui:
  • Focos em (-3,0) e (3,0) .
  • Vértices em (-4,0) e (4,0) .
Teoria Aplicada:
Vértices são os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior, e a distância a é a distância do centro aos vértices.
Passo a Passo:
  1. Identificar a :
    • Vértices estão a 4 unidades do centro (0,0) .
    • Então, a = 4 .
  2. Identificar c :
    • Focos estão a 3 unidades do centro.
    • Então, c = 3 .
  3. Encontrar b usando c^2 = a^2 - b^2 :
    • 3^2 = 4^2 - b^2
    • 9 = 16 - b^2
    • b^2 = 16 - 9 = 7
    • b = raiz7
  4. Escrever a equação da elipse com eixo maior no eixo x:
    • x^2a^2 + y^2b^2 = 1
    • Substituindo a = 4 e b = raiz7 :
    • x^216 + y^27 = 1
Resposta:
A equação da elipse é x^216 + y^27 = 1 . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 8 unidades ao longo do eixo x e eixo menor de aproximadamente 5,29 unidades ao longo do eixo y.

Passo 5

Parte (d): Focos F1=(0,-3) e F2=(0,3) , excentricidade raiz32

Aqui temos:
  • Focos na vertical em (0,-3) e (0,3) .
  • Excentricidade e = raiz32 .
Teoria Aplicada:
Excentricidade e = ca , onde c é a distância do centro aos focos e a é a distância do centro aos vértices.
Passo a Passo:
  1. Identificar c :
    • Focos a 3 unidades do centro.
    • Então, c = 3 .
  2. Usar a excentricidade para achar a :
    • e = ca
    • raiz32 = 3a
    • a = 3 times 2raiz3 = 6raiz3 = 2raiz3
  3. Encontrar b usando c^2 = a^2 - b^2 :
    • 9 = (2raiz3)^2 - b^2
    • 9 = 12 - b^2
    • b^2 = 12 - 9 = 3
    • b = raiz3
  4. Escrever a equação da elipse com eixo maior no eixo y:
    • x^2b^2 + y^2a^2 = 1
    • Substituindo a = 2raiz3 e b = raiz3 :
    • x^23 + y^212 = 1
Resposta:
A equação da elipse é x^23 + y^212 = 1 . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 4raiz3 unidades ao longo do eixo y e eixo menor de 2raiz3 unidades ao longo do eixo x.

Passo 6

Parte (e): Vértices A1=(0,-6) , A2=(0,6) , passa por P=(3,2)

Dados:
  • Vértices na vertical em (0,-6) e (0,6) .
  • A elipse passa pelo o ponto (3,2) .
Teoria Aplicada:
Com vértices verticais, o eixo maior está no eixo y. A equação geral será x^2b^2 + y^2a^2 = 1 , e sabemos que a = 6 (distância dos vértices do centro).
Passo a Passo:
  1. Identificar a :
    • Vértices a 6 unidades do centro.
    • Então, a = 6 .
  2. Usar o ponto P=(3,2) para encontrar b :
    • Substituir na equação: 3^2b^2 + 2^26^2 = 1
    • 9b^2 + 436 = 1
    • 9b^2 + 19 = 1
    • 9b^2 = 1 - 19 = 89
    • b^2 = 9 times 98 = 818
    • b = 92raiz2 = 9raiz24
  3. Escrever a equação da elipse:
    • x^2818 + y^236 = 1
    • Simplificando: 8x^281 + y^236 = 1
Resposta:
A equação da elipse é 8x^281 + y^236 = 1 . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 12 unidades ao longo do eixo y e eixo menor de aproximadamente 4,5raiz2 unidades ao longo do eixo x, passando pelo ponto (3,2) .

Passo 7

Parte (f): Centro C=(0,0) , focos no eixo dos x , excentricidade e=23 , passa por P=(2,-53)

Dados:
  • Centro na origem.
  • Focos no eixo x.
  • Excentricidade e = 23 .
  • A elipse passa pelo (2,-53) .
Teoria Aplicada:
Para elipses com eixo maior no eixo x, a equação é x^2a^2 + y^2b^2 = 1 , com e = ca e c^2 = a^2 - b^2 .
Passo a Passo:
  1. Relacionar e com c e a :
    • e = ca
    • 23 = ca
    • Então, c = 23a
  2. Usar c^2 = a^2 - b^2 :
    • (23a)^2 = a^2 - b^2
    • 49a^2 = a^2 - b^2
    • b^2 = a^2 - 49a^2 = 59a^2
  3. Usar o ponto P=(2,-53) na equação da elipse:
    • 2^2a^2 + (-53)^259a^2 = 1
    • 4a^2 + 25959a^2 = 1
    • 4a^2 + 255a^2 = 1
    • 4a^2 + 5a^2 = 1
    • 9a^2 = 1
    • a^2 = 9
    • a = 3
  4. Encontrar b :
    • b^2 = 59a^2 = 59 times 9 = 5
    • b = raiz5
  5. Escrever a equação da elipse:
    • x^29 + y^25 = 1
Resposta:
A equação da elipse é x^29 + y^25 = 1 . O gráfico é uma elipse centrada na origem, com eixo maior de 6 unidades ao longo do eixo x e eixo menor de aproximadamente 4,47 unidades ao longo do eixo y, passando pelo ponto (2, -53) .

Resposta

Conforme detalhado acima, cada parte (a) a (f) foi resolvida com suas respectivas equações e descrições dos gráficos das elipses.

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