Responda Verdadeiro (V) ou Falso (F), justificando:
( ) Se A e B são matrizes da mesma ordem, então A+B=B+A.
( ) Se A e B são matrizes da mesma ordem, então A B=B A.
( ) Se A é uma matriz n \times n, então A+0=A, onde 0 é a matriz nula.
( ) Se A é uma matriz n \times n, então A I_{n}=A, onde I_{n} é a matriz identidade.
( ) Se A é uma matriz 2 \times 2 e A^{t} é a sua transposta, então \left(A^{t}\right)^{t}=A.
( ) Se A é uma matriz 2 \times 2, então (A+A)^{t}=A^{t}+A^{t}.
( ) Se A é a matriz identidade I_{n}, então I_{n}^{2}=I_{n}.
( ) Se A é uma matriz qualquer, então A^{t}+A^{t}=(A+A)^{t}.
( ) Se A é escalonada, então é sempre possível transformar A na matriz identidade usando apenas operações de linha.
( ) Se A^{2}=-2 A^{4}, então \left(I_{n}+A^{2}\right)\left(I_{n}-2 A^{2}\right)=I_{n};
( ) Se A=P^{t} D P, onde D é uma matriz diagonal, então A^{t}=A;
( ) Se D é uma matriz diagonal, então D A=A D, para toda matriz A, n \times n;
( ) Se B=A A^{t}, então B=B^{t}.
( ) Se B e A são tais que A=A^{t} e B=B^{t}, então C=A B, é tal que C^{t}=C.

Passo 1

O enunciado apresenta várias afirmativas sobre operações com matrizes de mesma ordem, identidade, matriz nula, matriz transposta, escalonamento, fatoração por matrizes ortogonais e matrizes diagonais. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear básica: propriedades de soma, produto, elemento neutro, transposta, formas escalonadas, fatoração e simetria.

Passo 2

A soma de matrizes é sempre comutativa, pois \bigl(A+B\bigr)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}=B_{ij}+A_{ij}=\bigl(B+A\bigr)_{ij}, logo A+B=B+A. Em geral o produto de matrizes não é comutativo: pode ocorrer AB\neq BA.

Passo 3

A matriz nula 0 é o elemento neutro para a soma, pois \bigl(A+0\bigr)_{ij}=A_{ij}+0=A_{ij}. A matriz identidade I_{n} é o elemento neutro à direita e à esquerda no produto, pois AI_{n}=A e I_{n}A=A.

Passo 4

A transposta satisfaz \bigl(A^{t}\bigr)^{t}=A e distribui sobre soma: \bigl(A+A\bigr)^{t}=A^{t}+A^{t}. Consequentemente \,A^{t}+A^{t}=(A+A)^{t}.

Passo 5

A matriz identidade satisfaz I_{n}^{2}=I_{n} porque I_{n}I_{n}=I_{n}.

Passo 6

Nem toda matriz em forma escalonada pode ser reduzida à identidade usando apenas operações de linha, pois se houver uma linha nula ou pivôs faltando não se obtém I_{n}. Portanto, a afirmativa “se A é escalonada, então sempre dá para transformá-la em I_{n}” é falsa.

Passo 7

Se A^{2}=-2A^{4}, então
\bigl(I_{n}+A^{2}\bigr)\bigl(I_{n}-2A^{2}\bigr) =I_{n}-2A^{2}+A^{2}-2A^{4} =I_{n}-\bigl(A^{2}+2A^{4}\bigr).
Como A^{2}=-2A^{4}, tem-se A^{2}+2A^{4}=0, logo o produto vale I_{n}.

Passo 8

Se A=P^{t}DP com D diagonal, então
A^{t}=\bigl(P^{t}DP\bigr)^{t}=P^{t}D^{t}P=P^{t}DP=A,
pois D^{t}=D. Assim A é simétrica.

Passo 9

Uma matriz diagonal D não comuta em geral com uma matriz qualquer A; só comuta quando A também for diagonal ou tiver estrutura compatível. Logo “ DA=AD para toda A” é falso.

Passo 10

Se B=AA^{t}, então
B^{t}=\bigl(AA^{t}\bigr)^{t}=\bigl(A^{t}\bigr)^{t}A^{t}=AA^{t}=B,
logo B é simétrica.

Passo 11

O produto de duas matrizes simétricas A e B só é simétrico se AB=BA. Em geral AB\neq BA, logo pode ocorrer C=AB não simétrica.

Resposta

(1) V
(2) F
(3) V
(4) V
(5) V
(6) V
(7) V
(8) V
(9) F
(10) V
(11) V
(12) F
(13) V
(14) F

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