Responda Verdadeiro (V) ou Falso (F), justificando:
( ) Se
e
são matrizes da mesma ordem, então
.
( ) Se
e
são matrizes da mesma ordem, então
.
( ) Se
é uma matriz
, então
, onde 0 é a matriz nula.
( ) Se
é uma matriz
, então
, onde
é a matriz identidade.
( ) Se
é uma matriz
e
é a sua transposta, então
.
( ) Se
é uma matriz
, então
.
( ) Se
é a matriz identidade
, então
.
( ) Se
é uma matriz qualquer, então
.
( ) Se
é escalonada, então é sempre possível transformar
na matriz identidade usando apenas operações de linha.
( ) Se
, então
;
( ) Se
, onde
é uma matriz diagonal, então
;
( ) Se
é uma matriz diagonal, então
, para toda matriz
;
( ) Se
, então
.
( ) Se
e
são tais que
e
, então
, é tal que
.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado apresenta várias afirmativas sobre operações com matrizes de mesma ordem, identidade, matriz nula, matriz transposta, escalonamento, fatoração por matrizes ortogonais e matrizes diagonais. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear básica: propriedades de soma, produto, elemento neutro, transposta, formas escalonadas, fatoração e simetria.
Passo 2
A soma de matrizes é sempre comutativa, pois
, logo
. Em geral o produto de matrizes não é comutativo: pode ocorrer
.
Passo 3
A matriz nula
é o elemento neutro para a soma, pois
. A matriz identidade
é o elemento neutro à direita e à esquerda no produto, pois
e
.
Passo 4
A transposta satisfaz
e distribui sobre soma:
. Consequentemente
.
Passo 5
A matriz identidade satisfaz
porque
.
Passo 6
Nem toda matriz em forma escalonada pode ser reduzida à identidade usando apenas operações de linha, pois se houver uma linha nula ou pivôs faltando não se obtém
. Portanto, a afirmativa “se
é escalonada, então sempre dá para transformá-la em
” é falsa.
Passo 7
Se
, então
Como
, tem-se
, logo o produto vale
.
Passo 8
Se
com
diagonal, então
pois
. Assim
é simétrica.
Passo 9
Uma matriz diagonal
não comuta em geral com uma matriz qualquer
; só comuta quando
também for diagonal ou tiver estrutura compatível. Logo “
para toda
” é falso.
Passo 10
Se
, então
logo
é simétrica.
Passo 11
O produto de duas matrizes simétricas
e
só é simétrico se
. Em geral
, logo pode ocorrer
não simétrica.
Resposta
(1) V
(2) F
(3) V
(4) V
(5) V
(6) V
(7) V
(8) V
(9) F
(10) V
(11) V
(12) F
(13) V
(14) F
(2) F
(3) V
(4) V
(5) V
(6) V
(7) V
(8) V
(9) F
(10) V
(11) V
(12) F
(13) V
(14) F